Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $A_0A_1, B_0B_1, C_0C_1$ đồng quy.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Bài toán :

Cho $T$ là điểm $Toricelli$ của tam giác nhọn $ABC$. $AT,BT,CT$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_0,B_0,C_0$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ lần lượt đối xứng với $T$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A_0A_1, B_0B_1, C_0C_1$ đồng quy.


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#2
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài toán :

Cho $T$ là điểm $Toricelli$ của tam giác nhọn $ABC$. $AT,BT,CT$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_0,B_0,C_0$. Các điểm $A_1,B_1,C_1$ lần lượt đối xứng với $T$ qua $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $A_0A_1, B_0B_1, C_0C_1$ đồng quy.

Một lời giải của anh Nguyễn Văn Linh  :icon6:

Denote $ T'$ the isogonal conjugate point of Torixeli point $ T, T'_a$ the reflection of $ T'$ across $ BC$. We will show that $ T'_a\in AT$.
For every point $ X$ which lies on $ AT$. We have $ \frac{S_{AXB}}{S_{AXC}}\equal{}\frac{BA.AT.\sin \angle BAT}{CA.AT.\sin \angle CAT}\equal{}\frac{BT}{CT}$
So to prove $ T'_a\in AT$ we will prove $ \frac{S_{ABT'_a}}{S_{ACT'_a}}\equal{}\frac{BT}{CT}$
Or $ \frac{AB.BT'_a.\sin \angle ABT'_a}{AC.CT'.\sin \angle ACT'_a}\equal{}\frac{BT}{CT} (1)$
Put $ \angle ABT\equal{}y, \angle ACT\equal{}z$ then $ \frac{\sin z}{\sin y}\equal{}\frac{AC}{AB}\equal{}\frac{\sin C}{\sin B} (2)$
$ (1)\Leftrightarrow \frac{\sin C}{\sin B}.\frac{\sin z}{\sin y}.\frac{\sin (B\plus{}y)}{\sin (C\plus{}z)}\equal{}\frac{\sin (C\minus{}z)}{\sin (B\minus{}y)}$
$ \Leftrightarrow \sin^2C.\sin (B\plus{}y).\sin (B\minus{}y)\equal{}\sin^2 B.\sin (C\plus{}z).\sin (C\minus{}z)$
$ \Leftrightarrow \sin^2C.(\cos2B\minus{}\cos 2y)\equal{}\sin^2B(\cos 2C\minus{}\cos 2z)$
$ \Leftrightarrow \sin^2C.(1\minus{}2\sin^2B\minus{}1\plus{}2\sin^2y)\equal{}\sin^2B(1\minus{}2\sin^2C\minus{}1\plus{}2\sin^2z)$
$ \Leftrightarrow \sin^2C.\sin^2y\equal{}\sin^2B.\sin^2z$ (It's true from $ (2)$)
Therefore $ T'$ lies on $ T_1T$. Similarly we are done.

http://www.artofprob...p?f=47&t=304719


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 15-09-2013 - 13:48





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh