Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi tuyển vào lớp tài năng trường ĐH Bách Khoa Hà Nội năm 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 02-09-2013 - 10:23

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:

$$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$$

 

Câu 2 (2,0 điểm). Cho cấp số cộng $(a_n)_{n \geq 1}$ với công sai $d$ và cấp số nhân $(b_n)_{n \geq 1}$ với công bội $q$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}$$

theo $a_1,b_1,d,q$

 

Câu 3 (1,5 điểm). Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=c;AC=BD=b;AD=BC=a$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

 

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$$
 
Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)dx=2013$ và:

$$\left | f(x_1)-f(x_2) \right |< \left | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2 \right |, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$

Xác định hàm số đã cho.

 

Câu 6 (1,5 điểm). Một cửa hàng hoa có 5 loại hoa: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với số lượng lớn. Một người khách hàng đến mua $20$ bông hoa. Có bao nhiêu cách chọn các loại hoa.

 

 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 02-09-2013 - 10:35

 

Câu 6 (1,5 điểm). Một cửa hàng hoa có 5 loại hoa: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với số lượng lớn. Một người khách hàng đến mua $20$ bông hoa. Có bao nhiêu cách chọn các loại hoa.

Chém câu 6 cái đã  :icon6:

Gọi số bông hoa hồng, lan, cúc, ly, huệ người đó mua là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$

Xét phương trình nghiệm nguyên không âm sau:

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$

Số cách chọn hoa cũng chính bằng số nghiệm của phương trình trên và bằng $C_{24}^{4}=10626$



#3 Saigonweed

Saigonweed

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 02-09-2013 - 10:47

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$$

Lời giải. Giả sử $x=\max\left \{ x;y;z \right \}$ ta có $5x=2y^{2}-4y+7=2\left ( y-1 \right )^{2}+5\geq 5$ suy ra $x\geq 1$.

Tương tự ta cũng có $y\geq 1$, $z\geq 1$.

Xét hàm số $f\left ( t \right )=2t^{2}-4t+7$ ta có $f'\left ( t \right )=4t-4\geq 0, \ \ \forall t\geq 1$.

Do đó ta có $x\geq y\Rightarrow f\left ( x \right )\geq f\left ( y \right )\Rightarrow 5z\geq 5x\Rightarrow z\geq x\Rightarrow f\left ( z \right )\geq f\left ( x \right )\Rightarrow 5y\geq 5x\Rightarrow x=y=z$.

Thay vào một trong ba phương trình ta được nghiệm $\left ( x;y;z \right )$ là $\left ( \frac{7}{2};\frac{7}{2};\frac{7}{2} \right )$ và $\left ( 1;1;1 \right )$.



#4 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 02-09-2013 - 10:47

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$$

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có:

$5x=2\left ( y-1 \right )^2+5\geq 5$

$\Rightarrow x\geq 1$

Tương tự, ta có $x\geq y\geq z\geq 1$

Thay vế phải vào ta suy ra $\left ( y-1 \right )^2\geq \left ( z-1 \right )^2\geq \left ( x-1 \right )^2$

$\Leftrightarrow y\geq z\geq x$

Vậy $x=y=z=\frac{7}{2}$ hoặc $x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 02-09-2013 - 12:34


#5 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2013 - 10:51

 

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:

$$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$$

 

Câu 2 (2,0 điểm). Cho cấp số cộng $(a_n)_{n \geq 1}$ với công sai $d$ và cấp số nhân $(b_n)_{n \geq 1}$ với công bội $q$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}$$

theo $a_1,b_1,d,q$

 

Câu 3 (1,5 điểm). Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=c;AC=BD=b;AD=BC=a$. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

 

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$$
 
Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)dx=2013$ và:

$$\left | f(x_1)-f(x_2) \right |< \left | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2 \right |, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$

Xác định hàm số đã cho.

 

Câu 6 (1,5 điểm). Một cửa hàng hoa có 5 loại hoa: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với số lượng lớn. Một người khách hàng đến mua $20$ bông hoa. Có bao nhiêu cách chọn các loại hoa.

 

 

 

Câu  3 :

Gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.

Tam giác ACD= tam giác BDC nên nên tam giác JAB cân ở J $=> IJ$ là trung trực CD

Gọi O là trung điểm IJ thì OA=OB và OC=OD

mà tam giác IOB= tam giác JOC nên OB=OC=OA=OD

nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp

Bán kinh r=OA với $OA^2=OI^2+IA^2$ hay CI là trung tuyến tam giác ABC

từ đây $\Rightarrow r^2=\frac{1}{8(c^2+b^2+a^2)}$



#6 Saigonweed

Saigonweed

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 02-09-2013 - 10:52

Câu 2 (2,0 điểm). Cho cấp số cộng $(a_n)_{n \geq 1}$ với công sai $d$ và cấp số nhân $(b_n)_{n \geq 1}$ với công bội $q$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}$$

theo $a_1,b_1,d,q$

Lời giải. Ta có $$A=\sum_{k=1}^{2013}a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{2013}\left [ a_{1}+\left ( k-1 \right )d \right ]b_{1}q^{k-1}=a_{1}b_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}+b_{1}\sum_{k=1}^{2013}kq^{k-1}-db_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}$$

Tổng đầu và tổng cuối ta dùng cấp số cộng và cấp số nhân sẽ tính được còn tổng thứ hai dùng đạo hàm.



#7 hungnp

hungnp

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên THPT Tân Túc (HCM) 0907125846
  • Sở thích:Âm nhạc, Phim, Toán

Đã gửi 02-09-2013 - 11:58



Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:

$$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$$

Ta có $ f(x)=\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)-\sin x\cos x+(\sin x+\cos x)$

Đặt ẩn phụ $t=\sin x+\cos x$ thì ta có $-\sqrt{2}\leq t\leq \sqrt{2}$ và $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

Hàm số trở thành: $g(t)=t\left(1-\frac{t^2-1}{2}\right)-\frac{t^2-1}{2}+t=-\frac{1}{2}t^3-\frac{1}{2}t^2+\frac{5}{2}t+\frac{1}{2}$

Đạo hàm: $g'(t)=-\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}$

$g'(t)=0\Leftrightarrow -\frac{3}{2}t^2-t+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow t=1$ hoặc $t=-\frac{5}{3}\notin [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Ta có:

$g(\sqrt{2})=\frac{-1+3\sqrt{2}}{2}$

$g(-\sqrt{2})=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$

$g(1)=2$

Vậy:

$\max_{\mathbb{R}}f(x)=\max_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=2$

$\min_{\mathbb{R}}f(x)=\min_{[-\sqrt{2};\sqrt{2}]}g(t)=-\frac{1+3\sqrt{2}}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 02-09-2013 - 13:12


#8 NGOCTIEN_A1_DQH

NGOCTIEN_A1_DQH

    Never Give Up

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12A1, THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên

Đã gửi 02-09-2013 - 18:34

 

Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)dx=2013$ và:

$$\left | f(x_1)-f(x_2) \right |< \left | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2 \right |, \forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$$

Xác định hàm số đã cho.

 

 

mới đi thi về, cơ mà làm ăn chán quá, chắc lỡ hẹn rồi  :(

 

điều kiện đề bài tương đương với: 

 

$ |\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \leq |x_1^2-x_2^2| $

 

cho $ x_1 $ tiến đến $ x_2 $ và lấy giới hạn 2 vế ta được:

 

$ \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}| \geq  \lim_{x_1 \rightarrow x_2}|x_1^2-x_2^2| $

 

$ \Leftrightarrow |f'(x_2)|  \leq 0 \forall x_2 \in \mathbb{R} $

 

$ \Rightarrow f'(x)=0 \forall x \in \mathbb{R} $

 

hay $ f(x) $ là hàm hằng, kết hợp với $ \int_0^1f(x)dx=2013 $ ta tìm đc hàm $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $, thử lại thấy thỏa

 

vậy hàm số cần tìm là $ f(x)=2013 \forall x \in \mathbb{R} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NGOCTIEN_A1_DQH: 02-09-2013 - 18:36

Em cắm hoa tươi đặt cạnh bàn

Mong rằng toán học bớt khô khan

Em ơi trong toán nhiều công thức

Cũng đẹp như hoa lại chẳng tàn

#9 germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Đã gửi 02-09-2013 - 20:59

Chém câu 6 cái đã :icon6:
Gọi số bông hoa hồng, lan, cúc, ly, huệ người đó mua là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$
Xét phương trình nghiệm nguyên không âm sau:
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=20$
Số cách chọn hoa cũng chính bằng số nghiệm của phương trình trên và bằng $C_{24}^{4}=10626$

Bạn có thể làm rõ hơn một tí được không, mình chưa hiểu!!!

Lời giải. Ta có $$A=\sum_{k=1}^{2013}a_{k}b_{k}=\sum_{k=1}^{2013}\left [ a_{1}+\left ( k-1 \right )d \right ]b_{1}q^{k-1}=a_{1}b_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}+b_{1}\sum_{k=1}^{2013}kq^{k-1}-db_{1}\sum_{k=1}^{2013}q^{k-1}$$
Tổng đầu và tổng cuối ta dùng cấp số cộng và cấp số nhân sẽ tính được còn tổng thứ hai dùng đạo hàm.

Bạn tính dùm mình đi, mình chưa hiểu!!

#10 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-08-2015 - 22:33

 

 

Câu 2 (2,0 điểm). Cho cấp số cộng $(a_n)_{n \geq 1}$ với công sai $d$ và cấp số nhân $(b_n)_{n \geq 1}$ với công bội $q$. Tính giá trị của biểu thức:

$$A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}$$

theo $a_1,b_1,d,q$

ta có $A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+...+(a_{n-1}-a_n)(b_1+b_2+...+b_{n-1})+a_n(b_1+b_2+...+b_n)=-d[b_1+b_1(1+q)+b_1(1+q+q^2)+...+b_1(1+q+...+q^{n-2})]+b_1[(n-1)d+a_1][1+q+...+q^{n-1}]=-db_1.\frac{n-\frac{1-q^n}{1-q}}{1-q}+b_1[(n-1)d+a_1].\frac{1-q^n}{1-q}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 14-08-2015 - 23:07





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh