Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Cho m,n nguyên dương, m không là ước của n. Xét hai dãy số $(a_{i}); (b_{j})$ được xác định như sau: 

$a_{i}=i+\frac{ni}{m}$ với $i=1,2,3,...,m-1$;

$b_{j}=j+\frac{mj}{n}$ với $j=1,2,3,...,n-1$.

Sắp xếp tất cả các số của hai dãy trên theo thứ tự không giảm ta được: $c_{1}\leq c_{2}\leq ...\leq c_{m+n-2}$. CMR: $c_{k+1}-c_{k}<2$ với mọi $k=1,2,...,m+n-3$

[ntuan5]

Giả sử $m>n$ suy ra $a_{i+1}-a{i} <2$. giờ chỉ cần c/m tồn tại : $c_{j+1}-c_{j} < a_{i+1}-a{i}$. Thật vậy ta c/m $ c_{j+1};c_{j} \in [a_{i};a_{i+1}]$. Chọn $j$ sao cho: $a_{i} \le c_{j}<a_{i+1}$  thì $c_{j+1}=a_{j+1}$ hoặc $c_{j+1}=b_{k}$.

Cẩn c/m $\frac{b_{k}}{a_{j+1}} <$ , thật vậy do tồn tại $k$ sao cho $1 \le k \le \frac{(j+1)n}{m}$ khi chọn $j$ đủ lớn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ntuan5: 04-09-2013 - 21:55