A. Tích phân suy rộng có cận vô cực
Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định trên $[a;b]$ vô hạn và khả tích trên mỗi đoạn hữu hạn $-\infty<a\leq x\leq b<+\infty$
1.1. $\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$
1.2. $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$
1.3. Tổng quát: $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$
Nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ là hữu hạn thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ là hội tụ (integral is convergent ).
Ngược lại, nếu giới hạn $\lim_{a\to -\infty, b\to +\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx$ là vô cùng hoặc không tồn tại thì tích phân suy rộng $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ là phân kỳ (integral is divergent ).
2. Ứng dụng
2.1. Chứng minh: $I=\int_{0}^{+\infty}cosxdx$ phân kỳ
2.2. Chứng minh: $I=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$ hội tụ
B. Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn
Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định và khả tích mỗi đoạn trên $[a+\varepsilon ;b],\forall \varepsilon >0, \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx$
Nếu hàm số $y=f(x)$ xác định và khả tích mỗi đoạn trên $[a ;b-\varepsilon],\forall \varepsilon >0, \lim_{x\to b^{-}}f(x)=\infty$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to 0^-}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr nhan: 05-09-2013 - 20:40