Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:
f(x+y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y), với mọi x,y thuộc R
#1
Đã gửi 03-09-2013 - 20:53
#2
Đã gửi 14-09-2013 - 15:30
Lời giải:
Quy ước $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$.
================================
\[
f\left( {x + y} \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( x \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
Nếu $f$ là hàm hằng thì dễ thấy $f \equiv 0$.
Xét $f$ khác hàm hằng. (*)
\[
x = y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right)^2 = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0
\]
Đặt $a=f(1)$.
\[
y: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) + f\left( x \right) = f\left( x \right) + f\left( 1 \right) + f\left( x \right)f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) = af\left( x \right) + a,\forall x,\left( 2 \right)
\]
Nếu $a=0 \Rightarrow f(x+1)=0\,\forall x \Rightarrow f$ là hàm hằng: trái với (*). Nên $a \ne 0$.
Xét số tự nhiên $n$ bất kì
\[
\begin{array}{rcl}
\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( n \right) &=& af\left( {n - 1} \right) + a \\
&=& a^2 f\left( {n - 2} \right) + a\left( {1 + a} \right) \\
&=& ... \\
&=& a^{n - 1} f\left( 1 \right) + a\left( {1 + a + ... + a^{n - 2} } \right) \\
&=& a^n + a\left( {1 + a + ... + a^{n - 2} } \right) \\
\end{array}
\]
TH1: $a \ne 1$. Khi đó
\[
f\left( n \right) = a^n + a.\frac{{a^{n - 1} - 1}}{{a - 1}} = \frac{{a^{n + 1} - a^n + a^n - a}}{{a - 1}} = a.\frac{{a^n - 1}}{{a - 1}},\forall n \in N
\]
Trong (1), chọn $x,y \in N$, ta có:\[
\begin{array}{l}
a.\frac{{a^{x + y} - 1}}{{a - 1}} + a.\frac{{a^{xy} - 1}}{{a - 1}} = a.\frac{{a^x - 1}}{{a - 1}} + a.\frac{{a^y - 1}}{{a - 1}} + a^2 \frac{{a^x - 1}}{{a - 1}}.\frac{{a^y - 1}}{{a - 1}} \\
\Leftrightarrow a^{x + y} - 1 + a^{xy} - 1 = a^x - 1 + a^y - 1 + a\left( {a^x - 1} \right)\left( {a^y - 1} \right) \\
\Leftrightarrow a^{x + y + 1} - a^{xy} - a^{x + y} - a^{x + 1} - a^{y + 1} + a^x + a^y - a = 0 ,\quad (3)\\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
x = y: = 1,\left( 3 \right) \Rightarrow a^3 - 3a^2 = 0 \Leftrightarrow a \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Leftrightarrow a = 2 \\
x: = 1;y: = 2,\left( 3 \right) \Rightarrow a^5 - 2a^4 - 2a^3 + 2a^2 + a = 0 \Rightarrow a \ne 2 \\
\end{array}
\]
2 điều này mâu thuẫn nhau nên trong TH1, không tồn tại $f$ thoả đề.
TH2: $a=1$. Khi đó, (2) trở thành:$f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 1,\forall x$
Bằng quy nạp, ta thu được 2 điều sau:\[
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( n \right) = n,\forall n \in Z \\
f\left( {x + n} \right) = f\left( x \right) + n,\forall x \in R,\forall n \in Z \\
\end{array} \right.
\]
Chọn bất kì2 số nguyên khác $0$ là $p,q$. Ta có:
\[
\begin{array}{l}
f\left( {q.\frac{p}{q}} \right) = f\left( p \right) + f\left( {\frac{p}{q}} \right) + f\left( p \right)f\left( {\frac{p}{q}} \right) - f\left( {q + \frac{p}{q}} \right) \\
\Leftrightarrow p = p + f\left( {\frac{p}{q}} \right) + pf\left( {\frac{p}{q}} \right) - f\left( {\frac{p}{q}} \right) - q \\
\Leftrightarrow f\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{p}{q},\forall p,q \in Z\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow f\left( x \right) = x,\forall x \in Q \\
\end{array}
\]
Do $f$ liên tục nên với mọi số thực $r$, ta chọn dãy hữu tỷ $(x_n)$ sao cho $\lim x_n=\lim y_n=x$ thì ta sẽ có
$$f(x)=f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=\lim x_n=x$$
Vậy $$f(x)=x\,\forall x \in \mathbb{R}$$
Thử lại:
Kết luận:
- Zaraki và hangdiemdieuhoa1999 thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y)$Bắt đầu bởi do viet anh, 07-06-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^2+yf(x))=xf(f(x))+f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}.$Bắt đầu bởi WilliamFan, 26-05-2023 phương trình hàm, đại số |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh