Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x+y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$

- - - - - phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Lee Binh

Lee Binh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn:
f(x+y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x)f(y), với mọi x,y thuộc R



#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Lời giải:

Quy ước $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$.

================================

\[
f\left( {x + y} \right) + f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + f\left( x \right)f\left( y \right),\forall x,y \in R,\left( 1 \right)
\]
Nếu $f$ là hàm hằng thì dễ thấy $f \equiv 0$.

Xét $f$ khác hàm hằng. (*)

\[
x = y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right)^2  = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0
\]
Đặt $a=f(1)$.

\[
y: = 1,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) + f\left( x \right) = f\left( x \right) + f\left( 1 \right) + f\left( x \right)f\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {x + 1} \right) = af\left( x \right) + a,\forall x,\left( 2 \right)
\]
Nếu $a=0 \Rightarrow f(x+1)=0\,\forall x \Rightarrow f$ là hàm hằng: trái với (*). Nên $a \ne 0$.

Xét số tự nhiên $n$ bất kì

\[
\begin{array}{rcl}
 \left( 2 \right) \Rightarrow f\left( n \right) &=& af\left( {n - 1} \right) + a \\
  &=& a^2 f\left( {n - 2} \right) + a\left( {1 + a} \right) \\
  &=& ... \\
  &=& a^{n - 1} f\left( 1 \right) + a\left( {1 + a + ... + a^{n - 2} } \right) \\
  &=& a^n  + a\left( {1 + a + ... + a^{n - 2} } \right) \\
 \end{array}
\]

TH1: $a \ne 1$. Khi đó

\[
f\left( n \right) = a^n  + a.\frac{{a^{n - 1}  - 1}}{{a - 1}} = \frac{{a^{n + 1}  - a^n  + a^n  - a}}{{a - 1}} = a.\frac{{a^n  - 1}}{{a - 1}},\forall n \in N
\]
Trong (1), chọn $x,y \in N$, ta có:\[
\begin{array}{l}
 a.\frac{{a^{x + y}  - 1}}{{a - 1}} + a.\frac{{a^{xy}  - 1}}{{a - 1}} = a.\frac{{a^x  - 1}}{{a - 1}} + a.\frac{{a^y  - 1}}{{a - 1}} + a^2 \frac{{a^x  - 1}}{{a - 1}}.\frac{{a^y  - 1}}{{a - 1}} \\
  \Leftrightarrow a^{x + y}  - 1 + a^{xy}  - 1 = a^x  - 1 + a^y  - 1 + a\left( {a^x  - 1} \right)\left( {a^y  - 1} \right) \\
  \Leftrightarrow a^{x + y + 1}  - a^{xy}  - a^{x + y}  - a^{x + 1}  - a^{y + 1}  + a^x  + a^y  - a = 0 ,\quad (3)\\
 \end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
 x = y: = 1,\left( 3 \right) \Rightarrow a^3  - 3a^2  = 0 \Leftrightarrow a \in \left\{ {0;1;2} \right\} \Leftrightarrow a = 2 \\
 x: = 1;y: = 2,\left( 3 \right) \Rightarrow a^5  - 2a^4  - 2a^3  + 2a^2  + a = 0 \Rightarrow a \ne 2 \\
 \end{array}
\]
2 điều này mâu thuẫn nhau nên trong TH1, không tồn tại $f$ thoả đề.

TH2: $a=1$. Khi đó, (2) trở thành:$f\left( {x + 1} \right) = f\left( x \right) + 1,\forall x$

Bằng quy nạp, ta thu được 2 điều sau:\[
\left\{ \begin{array}{l}
 f\left( n \right) = n,\forall n \in Z \\
 f\left( {x + n} \right) = f\left( x \right) + n,\forall x \in R,\forall n \in Z \\
 \end{array} \right.
\]
Chọn bất kì2 số nguyên khác $0$ là $p,q$. Ta có:

\[
\begin{array}{l}
 f\left( {q.\frac{p}{q}} \right) = f\left( p \right) + f\left( {\frac{p}{q}} \right) + f\left( p \right)f\left( {\frac{p}{q}} \right) - f\left( {q + \frac{p}{q}} \right) \\
  \Leftrightarrow p = p + f\left( {\frac{p}{q}} \right) + pf\left( {\frac{p}{q}} \right) - f\left( {\frac{p}{q}} \right) - q \\
  \Leftrightarrow f\left( {\frac{p}{q}} \right) = \frac{p}{q},\forall p,q \in Z\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow f\left( x \right) = x,\forall x \in Q \\
 \end{array}
\]

Do $f$ liên tục nên với mọi số thực $r$, ta chọn dãy hữu tỷ $(x_n)$ sao cho $\lim x_n=\lim y_n=x$ thì ta sẽ có

$$f(x)=f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=\lim x_n=x$$

Vậy $$f(x)=x\,\forall x \in \mathbb{R}$$

Thử lại:

Kết luận:


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh