Mình đã xem đề trên mathlinks. Điều kiện là
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?y_n nguyên.
Sau đây là lời giải của mình:
a) Xét dãy số sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_{2m}=2m+1
Ta chứng minh dãy số trên thỏa mãn bài toán:
Thật vậy: với
http://dientuvietnam...gi?i=1;2...;m-1 ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_ix_{m+i}=1+i=x_{i+1}x{m+i-1}+1.
Với
http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i=m ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_mx_{2m}=2m+1=x_{m+1}x_{2m-1}+1.
b). Chú ý là
http://dientuvietnam...?(x_i;x_{m i-1})=1 với mọi
http://dientuvietnam...i?i=1;2;...;m-1 Ta có
http://dientuvietnam...i 1}x_{m i-1} 1 http://dientuvietnam...{i-1}x_{m i-1}. Với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m
Cộng hai vế của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2 đẳng thức trên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i(x_{m+i}+x_{m+i-2})=x_{m+i-1}(x_{i+1}+x_{i-1})
Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_i;x_{m+i-1})=1 với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;...;m nên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_{m+i}+x_{m+i-2}}{x_{m+i-1}}=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i}=t_{i}.
Từ đây suy ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_i=x_i với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=1;2...;2m.
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t_i=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i} Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m.
Theo trên thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_{2m+1}+y_{2m-1}}{y_{2m}}=\dfrac{y_{m+2}+y_{m}}{y_{m+1}}=t_2. Do đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+1}=t_2y_{2m}-y_{2m-1}.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+2}=t_3y_{2m+1}-y_{2m}.
.......
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_0+y_2}{y_1}=\dfrac{x_{m+1}+x_{m-1}}{x_m}=t_m.
Do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_0=t_my_1-y_2.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{-1}=t_{m-1}y_0-y_1.............
Ngoài ra: Dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_n là duy nhất phụ thuộc vào dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n
