Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?m>1 là số nguyên.Chứng minh rằng:
a)Có các số nguyên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i,i=\overline{1,2m} sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_ix_{m+i}=x_{i+1}x_{m+i-1}+1,i=\overline{1,m}.
b)Với mỗi tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{x_1,x_2,...,x_{2m}\} thỏa mãn điều kiện a) có thể dựng một dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(y_n)_{n\in\mathbb{Z}} các số nguyên sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i=y_i,i=\overline{1,2m} và .
Nhìn lại tất cả các bài toán của China TST 1999
Dãy hai đầu
Bắt đầu bởi QUANVU, 23-01-2006 - 18:35
#1
Đã gửi 23-01-2006 - 18:35
1728
#2
Đã gửi 31-01-2006 - 16:28
Đề câu b thế nào vậy hả anh?
trách nhiệm và nghĩa vụ luôn đi đôi với tài năng.Càng tài năng thì trách nhiệm và nghĩa vụ với xã hội càng phải cao.
#3
Đã gửi 31-01-2006 - 16:36
Xin lỗi em,anh đã sửa rồi đấy
1728
#4
Đã gửi 04-02-2006 - 10:04
Bài này đơn giản lắm!Sử dụng nxhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_{n+1}F_{n+2}-F_{n+3}=(-1)^nhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_nlà số fibonacci.Phần b anh QV dịch thiếu đk dãy y_n là tự nhiên
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi clmt: 04-02-2006 - 10:09
trách nhiệm và nghĩa vụ luôn đi đôi với tài năng.Càng tài năng thì trách nhiệm và nghĩa vụ với xã hội càng phải cao.
#5
Đã gửi 05-02-2006 - 09:10
Mình đã xem đề trên mathlinks. Điều kiện là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?y_n nguyên.
Sau đây là lời giải của mình:
a) Xét dãy số sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_{2m}=2m+1
Ta chứng minh dãy số trên thỏa mãn bài toán:
Thật vậy: với http://dientuvietnam...gi?i=1;2...;m-1 ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_ix_{m+i}=1+i=x_{i+1}x{m+i-1}+1.
Với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i=m ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_mx_{2m}=2m+1=x_{m+1}x_{2m-1}+1.
b). Chú ý là http://dientuvietnam...?(x_i;x_{m i-1})=1 với mọi http://dientuvietnam...i?i=1;2;...;m-1
Ta có http://dientuvietnam...i 1}x_{m i-1} 1
http://dientuvietnam...{i-1}x_{m i-1}. Với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m
Cộng hai vế của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2 đẳng thức trên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i(x_{m+i}+x_{m+i-2})=x_{m+i-1}(x_{i+1}+x_{i-1})
Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_i;x_{m+i-1})=1 với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;...;m nên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_{m+i}+x_{m+i-2}}{x_{m+i-1}}=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i}=t_{i}.
Từ đây suy ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_i=x_i với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=1;2...;2m.
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t_i=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i} Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m.
Theo trên thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_{2m+1}+y_{2m-1}}{y_{2m}}=\dfrac{y_{m+2}+y_{m}}{y_{m+1}}=t_2. Do đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+1}=t_2y_{2m}-y_{2m-1}.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+2}=t_3y_{2m+1}-y_{2m}.
.......
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_0+y_2}{y_1}=\dfrac{x_{m+1}+x_{m-1}}{x_m}=t_m.
Do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_0=t_my_1-y_2.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{-1}=t_{m-1}y_0-y_1.............
Ngoài ra: Dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_n là duy nhất phụ thuộc vào dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n
Sau đây là lời giải của mình:
a) Xét dãy số sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_{2m}=2m+1
Ta chứng minh dãy số trên thỏa mãn bài toán:
Thật vậy: với http://dientuvietnam...gi?i=1;2...;m-1 ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_ix_{m+i}=1+i=x_{i+1}x{m+i-1}+1.
Với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?i=m ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_mx_{2m}=2m+1=x_{m+1}x_{2m-1}+1.
b). Chú ý là http://dientuvietnam...?(x_i;x_{m i-1})=1 với mọi http://dientuvietnam...i?i=1;2;...;m-1
Ta có http://dientuvietnam...i 1}x_{m i-1} 1
http://dientuvietnam...{i-1}x_{m i-1}. Với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m
Cộng hai vế của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2 đẳng thức trên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_i(x_{m+i}+x_{m+i-2})=x_{m+i-1}(x_{i+1}+x_{i-1})
Vì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(x_i;x_{m+i-1})=1 với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;...;m nên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{x_{m+i}+x_{m+i-2}}{x_{m+i-1}}=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i}=t_{i}.
Từ đây suy ta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_i=x_i với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=1;2...;2m.
Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t_i=\dfrac{x_{i+1}+x_{i-1}}{x_i} Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?i=2;3;...;m.
Theo trên thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_{2m+1}+y_{2m-1}}{y_{2m}}=\dfrac{y_{m+2}+y_{m}}{y_{m+1}}=t_2. Do đó
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+1}=t_2y_{2m}-y_{2m-1}.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{2m+2}=t_3y_{2m+1}-y_{2m}.
.......
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{y_0+y_2}{y_1}=\dfrac{x_{m+1}+x_{m-1}}{x_m}=t_m.
Do đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_0=t_my_1-y_2.
Tương tự http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_{-1}=t_{m-1}y_0-y_1.............
Ngoài ra: Dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y_n là duy nhất phụ thuộc vào dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_n
#6
Đã gửi 05-02-2006 - 09:33
Bạn có thể viết lời giải cho hoàn chỉnh được không.Bài này đơn giản lắm!Sử dụng nxhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_{n+1}F_{n+2}-F_{n+3}=(-1)^nhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_nlà số fibonacci.Phần b anh QV dịch thiếu đk dãy y_n là tự nhiên
#7
Đã gửi 05-02-2006 - 12:27
Chú ấy hay post như vậy lắm,QUÁ TẮT
@hai chú:cảm ơn các chú,anh sửa lại rồi,dạo này làm sao ấy,thôi tạm thời không dịch nữa vậy
@hai chú:cảm ơn các chú,anh sửa lại rồi,dạo này làm sao ấy,thôi tạm thời không dịch nữa vậy
1728
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh