Đến nội dung

Hình ảnh

$(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

chứng minh bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
tranngoclong

tranngoclong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

            $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

MOD: Chú ý tiêu đề và Latex


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 04-09-2013 - 16:03


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

            $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

MOD: Chú ý tiêu đề và Latex

Khai triển, bất đẳng thức đã cho tương đương với 

          $\sum \frac{a^2}{b^2}+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a})\geqslant 3+\sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2}+3+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 6+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Áp dụng AM-GM ta có 

                  $\sum \frac{a^2}{b^2}+3\geqslant 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

                  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3$

                  $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\geqslant 3$

Cộng $2$ bất đẳng thức trên lại ta có ngay đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$

Đẳng thức xảy ra 


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức cauchy - schwarz ta có : 

                                    $(\sum ab)(\sum \frac{a}{b})\geq (\sum a)^{2}$

Và                                $(\sum \frac{1}{ab})(\sum \frac{a}{b})\geq (\sum \frac{1}{a})^{2}$

Nhân vế với vế và ta sẽ chứng minh 

                                    $(\sum a)(\sum \frac{1}{a})\geq (\sum ab)(\sum \frac{1}{ab})=(\sum ab)(\sum a).\frac{1}{abc}$ 

Thế nhưng đây chỉ là một hằng đẳng thức , ta có điều phải chứng minh , đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng 

            $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^2\geqslant (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

MOD: Chú ý tiêu đề và Latex

Cách khác :

Đổi biến :$\left ( \frac{a}{b} ,\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right )\rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz=1$

Ta cần chứng minh : $$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3=x+y+z+xy+yz+zx+3$$

Mà $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$ nên ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn là :

$$\left ( x+y+z \right )^{2}\geq x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+3\Leftrightarrow t^{2}\geq t+\frac{t^{2}}{3}+3\qquad(x+y+z=t)\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$$

Điều này luôn đúng vì $t=x+y+z\geq 3\sqrt[x]{xyz}=3$

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: chứng minh bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh