Chủ đề này có 4 trả lời

[VDKAkam]

Tìm Min 

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Với $x,y>0$ và $x+y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 04-09-2013 - 15:58

[25 minutes]

Tìm Min 

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Với $x,y>0$ và $x+y=1$

Vì điều kiện giả thiết nên ta viết lại $P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{x}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

            $P\geqslant \frac{(x+y)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}.\sqrt{xy}+\sqrt{y}.\sqrt{xy}}$

Áp dụng AM-GM ta có $(\sqrt{x}.\sqrt{xy}+\sqrt{y}.\sqrt{xy})^2\leqslant (x+y)(xy+xy)\leqslant \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$

            $\Rightarrow \sqrt{x}.\sqrt{xy}+\sqrt{y}.\sqrt{xy}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$

            $\Rightarrow P\geqslant \sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

[letiendat96]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c $\leq \frac{3}{2}$.

Tìm gtnn của

S= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

[25 minutes]

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c $\leq \frac{3}{2}$.

Tìm gtnn của

S= $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}} +\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

Ta có $S\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{81}{(x+y+z)^2}}$

Đặt $t=x+y+z\leqslant \frac{3}{2}\Rightarrow S\geqslant \sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{(t^2+\frac{81}{16t^2})+\frac{1215}{16t^2}}\geqslant \sqrt{\frac{153}{4}}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

P/S : Post ra 1 topic khác

[canhhoang30011999]

Tìm Min 

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Với $x,y>0$ và $x+y=1$

$\frac{x}{\sqrt{1-x}}= \frac{x}{\sqrt{\left ( 1-x \right )\frac{1}{2}}\sqrt{2}}$

$\geq \frac{1}{\frac{1.5-x}{2}\sqrt{2}}$$= \frac{\sqrt{2}x}{1.5-x}$

tt $\frac{y}{\sqrt{1-y}}\geq \frac{\sqrt{2}y}{1.5-y}$

$\Rightarrow P\geq \frac{\sqrt{2}x}{1.5-x}+\frac{\sqrt{2}y}{1.5-y}$

$= \frac{\sqrt{2}x}{1.5-x}+\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}y}{1.5-y}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}$

$= \sqrt{2}1.5\left ( \frac{1}{1.5-x}+\frac{1}{1.5-y} \right )-2\sqrt{2}$

$\geq 1.5\sqrt{2}\frac{4}{1.5-x+1.5-y}-2\sqrt{2}$(bđt Svac-xơ)

$= \sqrt{2}$

dấu bàng xảy ra $\Leftrightarrow x= y= \frac{1}{2}$