Chủ đề này có 8 trả lời

[letiendat96]

Bài 1.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. cmr

 

$tanA+ tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$

 

Bài 2. cmr với mọi $\Delta$ABC:     $\left ( tan\frac{A}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+\left ( tan\frac{B}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+ \left ( tan\frac{C}{2} \right )^{2\sqrt{2}}\geq 3^{1-\sqrt{2}}$

Bài 3.cmr

$tan^{n}A+ tan^{n}B+tan^{n}C\geq 3(\sqrt{3})^{n}, \forall n\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letiendat96: 04-09-2013 - 19:30

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1.

Giải

Ta có:

$\tan{A} = -\tan{\left ( B + C\right )} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1}$ 

 

$\Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$

Do tam giác ABC nhọn nên:

$\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} = 3\sqrt{tan{A} + \tan{B} + \tan{C}}$
$\Leftrightarrow (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^2 \geq 27 \Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt{3}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2013 - 21:06

[xxSneezixx]

Bài 1.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. cmr

 

$tanA+ tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$

 

Bài 2. cmr với mọi $\Delta$ABC:     $\left ( tan\frac{A}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+\left ( tan\frac{B}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+ \left ( tan\frac{C}{2} \right )^{2\sqrt{2}}\geq 3^{1-\sqrt{2}}$

Bài 3.cmr

$tan^{n}A+ tan^{n}B+tan^{n}C\geq 3(\sqrt{3})^{n}, \forall n\geq 1$

 

Bài 1.

Giải

Ta có:

$\tan{A} = -\tan{\left ( B + C\right )} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1}$ 

 

$\Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$

Do tam giác ABC nhọn nên:

$\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} = 3\sqrt{tan{A} + \tan{B} + \tan{C}}$
$\Leftrightarrow (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^2 \geq 27 \Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt{3}$

Bài 1: mình xin đóng góp thêm một cách giải khác :

Đặt $a = \tan{A},  b=\tan{B},  c=\tan{C}$

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )^{2}\geq ab + ac+bc $

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )^{2}\geq abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Ta có $abc = a+b+c$

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$\Rightarrow a+b+c \geq 3\sqrt{3}$ 

 

[letiendat96]

mình xin giải bài 1 theo bđt jensen

Xét hàm $f\left ( x \right )=tanx, x\epsilon \left ( 0,\frac{\Pi }{2} \right ) ,f'\left ( x \right )=\frac{1}{\cos ^{2}x},f''\left ( x \right )=\frac{2\sin }{\cos ^{3}x}> 0\Rightarrow f$

f là hàm số lõm trên $\left ( 0,\frac{\Pi }{2} \right )$

Theo BĐT Jensen ta có

 $f\left ( A \right )+f\left ( B \right )+f\left ( C \right )\geq 3f\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )\Rightarrow tan A+tanB+tanC\geq 3tan\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )=3\sqrt{3}.$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letiendat96: 05-09-2013 - 10:13

[letiendat96]

sau đây là 1 số bài khá 'khoai' mong mọi người tham gia

bài 4: 

 

$\frac{1}{1+\left ( n+1\right )^{2}}< \arctan \frac{1}{n^{2}+n+1}< \frac{1}{1+n^{2}},$ với n$\in \mathbb{N}$

[letiendat96]

bài 5:

Cho $\left | ax^{3} +b^{2}+cx+d\right |\leq 1,$ với $x\epsilon$ $\left [ -1,1 \right ]$

CMR: $\left [ 3ax^{2}+2bx+c \right ]\leq 9, x\epsilon \left [ -1,1 \right ].$

[letiendat96]

bài thơ này mình sưu tầm được hay phết     

 

Có một lần thầy dạy toán làm thơ
Bài thơ ấy bây giờ đang dang dở
Nhưng câu thơ ý tình bỡ ngỡ
Còn khô khan như môn toán của thầy
Trong bài thơ thầy cộng gió với mây
Bằng công thức tính Cô tang của góc
Lá thu rơi bay vào trong lớp học
Thầy bảo rằng "lá có lực hướng tâm"
Rồi một lần mưa nhè nhẹ bâng khuâng
Thầy ngẫu hứng đọc câu thơ thầy viết
"Gọi mưa rơi dọc ngang bất chợt
Radian của cầu vòng là một số pi"...

           

[letiendat96]

Bài 6: a, b là số thực không âm. cmr

$\left ( a^{2} +b+\frac{3}{4}\right )\left ( b^{2}+a+\frac{3}{4} \right )\geq \left ( 2a+\frac{1}{2} \right )\left ( 2b+\frac{1}{2} \right )$

 

Bài 7:

a,b,c là số thực > 0.cmr

$\frac{a\left ( b+c \right )}{\sqrt{bc\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{\sqrt{ca\left ( a^{2}+b^{2} \right )}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{\sqrt{ab\left ( a^{2} +b^{2}\right )}}\geq 3\sqrt{2}$

[letiendat96]

Bài 8: a,b,c là số thực dương.cmr

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+9\geq 5\left ( a+b+c \right )$

 

 

Hi vọng mọi người giải giùm!