Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-09-2013 - 17:51

Bài 1.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. cmr

 

$tanA+ tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$

 

Bài 2. cmr với mọi $\Delta$ABC:     $\left ( tan\frac{A}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+\left ( tan\frac{B}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+ \left ( tan\frac{C}{2} \right )^{2\sqrt{2}}\geq 3^{1-\sqrt{2}}$

Bài 3.cmr

$tan^{n}A+ tan^{n}B+tan^{n}C\geq 3(\sqrt{3})^{n}, \forall n\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letiendat96: 04-09-2013 - 19:30


#2 Phạm Hữu Bảo Chung

Phạm Hữu Bảo Chung

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1360 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
  • Sở thích:Grey's Anatomy, Shameless, Game of Thrones

Đã gửi 04-09-2013 - 21:05

Bài 1.

Giải

Ta có:

$\tan{A} = -\tan{\left ( B + C\right )} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1}$ 

 

$\Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$

Do tam giác ABC nhọn nên:

$\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} = 3\sqrt{tan{A} + \tan{B} + \tan{C}}$
$\Leftrightarrow (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^2 \geq 27 \Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt{3}$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 04-09-2013 - 21:06

Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế :)

#3 xxSneezixx

xxSneezixx

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Gia Định _ TP. HCM

Đã gửi 04-09-2013 - 23:26

Bài 1.Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. cmr

 

$tanA+ tanB+tanC\geq 3\sqrt{3}$

 

Bài 2. cmr với mọi $\Delta$ABC:     $\left ( tan\frac{A}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+\left ( tan\frac{B}{2} \right )^{2\sqrt{2}}+ \left ( tan\frac{C}{2} \right )^{2\sqrt{2}}\geq 3^{1-\sqrt{2}}$

Bài 3.cmr

$tan^{n}A+ tan^{n}B+tan^{n}C\geq 3(\sqrt{3})^{n}, \forall n\geq 1$

 

Bài 1.

Giải

Ta có:

$\tan{A} = -\tan{\left ( B + C\right )} = \dfrac{\tan{B} + \tan{C}}{\tan{B}\tan{C} - 1}$ 

 

$\Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} = \tan{A}\tan{B}\tan{C}$

Do tam giác ABC nhọn nên:

$\tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt[3]{\tan{A}\tan{B}\tan{C}} = 3\sqrt{tan{A} + \tan{B} + \tan{C}}$
$\Leftrightarrow (\tan{A} + \tan{B} + \tan{C})^2 \geq 27 \Rightarrow \tan{A} + \tan{B} + \tan{C} \geq 3\sqrt{3}$

Bài 1: mình xin đóng góp thêm một cách giải khác :

Đặt $a = \tan{A},  b=\tan{B},  c=\tan{C}$

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )^{2}\geq ab + ac+bc $

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )^{2}\geq abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Ta có $abc = a+b+c$

$\frac{1}{3}\left(a+b+c \right )\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

$\Rightarrow a+b+c \geq 3\sqrt{3}$ 

 


$$\mathfrak{Curiosity}$$

 


#4 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-09-2013 - 10:12

mình xin giải bài 1 theo bđt jensen

Xét hàm $f\left ( x \right )=tanx, x\epsilon \left ( 0,\frac{\Pi }{2} \right ) ,f'\left ( x \right )=\frac{1}{\cos ^{2}x},f''\left ( x \right )=\frac{2\sin }{\cos ^{3}x}> 0\Rightarrow f$

f là hàm số lõm trên $\left ( 0,\frac{\Pi }{2} \right )$

Theo BĐT Jensen ta có

 $f\left ( A \right )+f\left ( B \right )+f\left ( C \right )\geq 3f\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )\Rightarrow tan A+tanB+tanC\geq 3tan\left ( \frac{A+B+C}{3} \right )=3\sqrt{3}.$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letiendat96: 05-09-2013 - 10:13


#5 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-09-2013 - 10:28

sau đây là 1 số bài khá 'khoai' mong mọi người tham gia

bài 4: 

 

$\frac{1}{1+\left ( n+1\right )^{2}}< \arctan \frac{1}{n^{2}+n+1}< \frac{1}{1+n^{2}},$ với n$\in \mathbb{N}$



#6 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-09-2013 - 10:38

bài 5:

Cho $\left | ax^{3} +b^{2}+cx+d\right |\leq 1,$ với $x\epsilon$ $\left [ -1,1 \right ]$

CMR: $\left [ 3ax^{2}+2bx+c \right ]\leq 9, x\epsilon \left [ -1,1 \right ].$



#7 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 05-09-2013 - 10:44

bài thơ này mình sưu tầm được hay phết  :icon6:  :icon6:  :icon6:

 

Có một lần thầy dạy toán làm thơ
Bài thơ ấy bây giờ đang dang dở
Nhưng câu thơ ý tình bỡ ngỡ
Còn khô khan như môn toán của thầy
Trong bài thơ thầy cộng gió với mây
Bằng công thức tính Cô tang của góc
Lá thu rơi bay vào trong lớp học
Thầy bảo rằng "lá có lực hướng tâm"
Rồi một lần mưa nhè nhẹ bâng khuâng
Thầy ngẫu hứng đọc câu thơ thầy viết
"Gọi mưa rơi dọc ngang bất chợt
Radian của cầu vòng là một số pi"...

    :namtay  :namtay  :namtay  :namtay 



#8 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 27-09-2013 - 10:50

Bài 6: a, b là số thực không âm. cmr

$\left ( a^{2} +b+\frac{3}{4}\right )\left ( b^{2}+a+\frac{3}{4} \right )\geq \left ( 2a+\frac{1}{2} \right )\left ( 2b+\frac{1}{2} \right )$

 

Bài 7:

a,b,c là số thực > 0.cmr

$\frac{a\left ( b+c \right )}{\sqrt{bc\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}+\frac{b\left ( a+c \right )}{\sqrt{ca\left ( a^{2}+b^{2} \right )}}+\frac{c\left ( a+b \right )}{\sqrt{ab\left ( a^{2} +b^{2}\right )}}\geq 3\sqrt{2}$



#9 letiendat96

letiendat96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 27-09-2013 - 11:15

Bài 8: a,b,c là số thực dương.cmr

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+9\geq 5\left ( a+b+c \right )$

 

 

Hi vọng mọi người giải giùm! :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh