Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 3 thực dương thỏa mãn $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=3$. Chứng minh $\sum \sqrt[3]{a+7} \le 2 \sum a^4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
rongtuongduong91

rongtuongduong91

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

cho 3 thực dương thỏa mãn $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}=3$. Chứng minh $\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leq 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Mod. Chú ý tiêu đề phải ngắn gọn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 09-09-2013 - 11:47


#2
rongtuongduong91

rongtuongduong91

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Mọi người giúp mình giải bài này với :(



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $4VT=\sum_{cyc}\sqrt[3]{(a+7).8.8}\leqslant \sum_{cyc}\frac{a+23}{3}\leqslant \sum_{cyc}\frac{\frac{a^4+1+1+1}{4}+23}{3}=\frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}$

Tiếp tục áp dụng Cauchy: $3(a^4+b^4+c^4)+3=\sum_{cyc}(a^4+b^4+b^4+1)\geqslant 4(ab^2+bc^2+ca^2)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geqslant 3$

Do đó $4VT\leqslant \frac{a^4+b^4+c^4+285}{12}\leqslant \frac{a^4+b^4+c^4+95(a^4+b^4+c^4)}{12}=8(a^4+b^4+c^4)\Rightarrow \sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leqslant 2(a^4+b^4+c^4)(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-04-2021 - 20:24

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh