Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I.$ Tiếp điểm của $(I)$ với $BC, CA, AB$ lần lượt là $D,E,F,$ Phân giác $\widehat{EDF}$ cắt $EF$ tại $N,$ phân giác $\widehat{BIC}$ cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh: $A, N, M$ thẳng hàng.
Hình vẽ
Xét 2 TH:
TH1: $EF$ song song $BC$ (có thể dễ dàng CM được)
TH2: $EF$ cắt $BC$ tại $K$
Ta sẽ CM $\left ( KMBC \right )=\left ( KNFE \right )$
Theo Menelaus cho cát tuyến $KFE$ và tam giác $ABC$ ta suy ra $\frac{KB}{KC}=\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{DC}$
$\left ( KMBC \right )=-\frac{BD}{DC}:\frac{MB}{MC}=-\frac{BD}{DC}:\frac{IB}{IC}$
Tương tự, $\left ( KNFE \right )=-\frac{CA}{CE}.\frac{BF}{BA}:\frac{DF}{DE}=-\frac{CA}{BA}.\frac{BD}{DC}:\frac{BD.sin\frac{B}{2}}{DC.sin\frac{C}{2}}=-\frac{CA}{BA}.\frac{sin\frac{C}{2}}{sin\frac{B}{2}}$
Điều cần CM tương đương với
$\frac{cos\frac{B}{2}}{cos\frac{C}{2}}=\frac{CA}{BA}.\frac{sin\frac{C}{2}}{sin\frac{B}{2}}$
Cái này khá đơn giản
Suy ra đpcm