Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết $25$

số học đồng dư chia hết nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 05-09-2013 - 22:17

Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#2 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 06-09-2013 - 18:45

Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$

Gợi ý 

Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng :) 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 06-09-2013 - 19:41

Gợi ý 

Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng :) 

:icon6:  chứng minh đi anh , đúng hướng rồi đấy


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-09-2013 - 23:30

Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.

Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.

Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$

$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$

Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)

Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.

Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.

Kết thúc chứng minh $\blacksquare$


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 07-09-2013 - 13:00

Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.

Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.

Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$

$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$

Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)

Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.

Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.

Kết thúc chứng minh $\blacksquare$

ord là gì anh


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 07-09-2013 - 13:12

ord là gì anh

$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 07-09-2013 - 13:12

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 07-09-2013 - 13:14

$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.

:wacko: sao không gọi là cấp cho nhanh , hjk , ^^


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, đồng dư, chia hết, nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh