Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết $25$

- - - - - số học đồng dư chia hết nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết

Cho $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $n$ nguyên dương và $n>1$ , chứng minh $3^{n}+2^{n}$ chia hết cho $25$

Gợi ý 

Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng :) 


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Gợi ý 

Có thể là chứng minh $n\vdots 5$ chăng :) 

:icon6:  chứng minh đi anh , đúng hướng rồi đấy


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.

Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.

Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$

$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$

Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)

Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.

Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.

Kết thúc chứng minh $\blacksquare$


“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Đầu tiên ta chứng minh $n\vdots 5$.

Ta có $2^n+3^n$ là số lẻ suy ra hiển nhiên $n$ lẻ, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, do $(2;p)=1$ nên tồn tại số tự nhiên $a<p$ để $2a\equiv 1\pmod{p}$.

Do $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{n}$ nên $3^{n}+2^{n}\equiv 0\pmod{p}$ suy ra $a^{n}.(3^{n}+2^{n})\equiv 0\pmod{p}$

$\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (3a)^{n}+1\equiv 0\pmod{p}\Rightarrow (-3a)^{n}\equiv 1\pmod{p}$

Gọi $x=\text{ord}_{p}(-3a)$ ta có $x|n,x|p-1$, nếu $x>1$ thì $x$ có 1 ước nguyên tố $p_1$ nào đó, lúc đó $p_1|n,p_1|p-1\Rightarrow p_1|n,p_1<p$ (Vô lý vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$)

Vậy suy ra $x=1$, hay $-3a\equiv 1 \pmod{p}$ suy ra $3a+2a\vdots p$ mà $a\not \vdots p$ (Do $2a\equiv 1\pmod{p}$) nên $5\vdots p$ suy ra $p=5$, vậy $n\vdots 5$.

Mặt khác do $n$ lẻ nên $n$ có dạng $10k+5$, để ý là $2^{10}\equiv 3^{10}\pmod{25}$ nên $2^{10k+5}+3^{10k+5}\equiv 2^{10k}.(2^{5}+3^{5})\vdots 25$.

Kết thúc chứng minh $\blacksquare$

ord là gì anh


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

ord là gì anh

$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 07-09-2013 - 13:12

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#7
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

$x= \text{ord}_p(-3a)$ tức $x$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $(-3a)^x \equiv 1 \pmod{p}$.

:wacko: sao không gọi là cấp cho nhanh , hjk , ^^


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, đồng dư, chia hết, nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh