Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác.C/m:$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1 nhox sock tn

nhox sock tn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 195 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Ba Tri, Bến Tre
  • Sở thích:Toán, Lý, Anh

Đã gửi 06-09-2013 - 17:28

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$



#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-09-2013 - 17:33

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(a+b-c)(b+c-a) \le \frac{[(a+b-c)+(b+c-a)]^2}{4}=b^2$.

Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

BĐT vẫn đúng nếu $a,b,c$ là số thực bất kì.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 06-09-2013 - 17:37

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Lời giải. b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#4 lovemath99

lovemath99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{Toán}$
  • Sở thích:$\textrm{Đọc sách, khoa học viễn tưởng,...}$

Đã gửi 06-09-2013 - 17:39

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

 

a) Theo AM-GM thì:

$(a+b-c)(b+c-a) \le \dfrac{(a+b-c+b+c-a)^2}{4} =b^2$

Thiết lập các bdt tương tự cộng lại ta có dpcm.

b) Đặt $x=b+c-a>0; y=a+c-b>0; z=a+b-c>0 \to a=\dfrac{y+z}{2}; b=\dfrac{x+z}{2}; c=\dfrac{x+y}{2}$, thì bdt cần cm tương đương với:

$\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{x+z}{2y}+\dfrac{x+y}{2z} \ge 3$

$\iff \dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z} \ge 6$

$ \iff (\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y})+(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z})+(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}) \ge 6$

BDT cuối luôn dúng theo AM-GM.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemath99: 06-09-2013 - 17:40


#5 Christian Goldbach

Christian Goldbach

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 351 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên đại học Sư Phạm Hà Nội
  • Sở thích:nhiều lắm!!!

Đã gửi 06-09-2013 - 20:30

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b)

Theo Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{b+c-a}\geq \sum \frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ca+bc)-a^2-b^2-c^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\frac{2}{3}(a+b+c)^2-\frac{1}{3}(a+b+c)^2}=3$


Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.

 


#6 HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cẩm Xuyên
  • Sở thích:Thậm chí ngay cả trong trò chơi của con trẻ cũng có những điều khiến nhà toán học vĩ đại nhất phải quan tâm.

Đã gửi 06-09-2013 - 20:56

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b, Có thể dùng cách đặt 
$b+c-a=x$

$a+c-b=y$

$a+b-c=z$

nên $a=\frac{y+z}{2}$

$b=\frac{x+z}{2}$

$c=\frac{x+y}{2}$

BĐT tương đương $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$

Đến đây dùng AM-GM là xog


Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#7 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 06-09-2013 - 21:45

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   b) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

Áp dụng BĐT AM-GM

Nhân cả 2 vế vs 2

$\Rightarrow \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}-3=\left ( a+b+c \right )\left ( \sum \frac{1}{a+b-c} \right )-3\geq 9-3=6$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#8 laiducthang98

laiducthang98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 06-09-2013 - 22:04

a . Cách khác : Ta có :

$a^2\geq a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a+c-b)> 0$

$b^2\geq b^2-(a-c)^2=(b+c-a)(b+a-c)> 0$

$c^2\geq c^2-(a-b)^2=(c+b-a)(c+a-b)> 0$

$=>a^2b^2c^2\geq (b+c-a)^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2$

$=>abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ (đ.f.c.m) 



#9 khanh2711999

khanh2711999

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 07-09-2013 - 14:30

a)

 đặt;

a + b - c = x

b + c - a = y

c + a - b = z

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                       c = $\frac{x+y}{2}$

 

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:

           $xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

 

ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$

          $\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$

          $\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$

Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm

 

b) Đặt

 b + c -a = x

a + c -b = y

a + b -c = z

 

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                      c = $\frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :

 

 $\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$

 

BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh

 

 

 



#10 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 07-06-2015 - 02:22

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh:

   a) $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

  

Áp dụng BĐT Tam giác . Ta có : $a>\left |b-c \right |\Leftrightarrow a^{2}>(b-c)^{2}<=> a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}\Leftrightarrow (a-b+c)(a+b-c)\leq a^{2}$

Các cái sau tương tự => đpcm



#11 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-08-2015 - 16:00

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có $(a+b-c)(b+c-a) \le \frac{[(a+b-c)+(b+c-a)]^2}{4}=b^2$.

Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

BĐT vẫn đúng nếu $a,b,c$ là số thực bất kì.

phải là nhân các vế chứ



#12 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-08-2015 - 16:15

Bài 1. Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức Schur bậc 3.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#13 vinh0105

vinh0105

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM

Đã gửi 03-09-2015 - 03:21

Đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x

Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác, nên chứng minh rằng có thể đặt được cách trên bằng các vẽ đường tròn nội tiếp

 

1)

(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) <= abc

 

<--> 2y * 2x * 2z <= (x+y)(y+z)(z+x)

<--> 8xyz <= (x+y)(y+z)(z+x)

 

đúng, vì x + y >= 2 sqrt(xy)

 

2)

a/(b + c - a) + b/(c + a - b) + c/(a + b - c) >= 3

 

<--> (x + y)/(2z) + (y + z)/(2x) + (z + x)/(2y) >= 3

<--> (x/z + z/x) + (y/z + z/y) + (y/x + x/y) >= 6

 

đúng, vì x/z + z/x >= 2


....hoa cười nguyệt rọi cửa lồng gương....
....lạ cảnh buồn thêm nỗi vấn vương....
....tha thướt liễu in hồ gợn sóng....
....hững hờ mai thoảng gió đưa hương....

#14 Gokai Silver

Gokai Silver

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thanh hóa
  • Sở thích:meo

Đã gửi 04-08-2016 - 11:31

cho mình hỏi nếu a,b,c là cạnh của tam giác thì căn a,căn b, căn c cũng tạo thành một tam giác . Câu hỏi này phải cm thế nào ạ 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh