Chủ đề này có 2 trả lời

[anh qua]

Pro. Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho.
$2^{2^n}+5=m^{7}$.

p.s: Chế một cách thô thiển học :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 07-09-2013 - 12:16

[Zaraki]

Pro. Tìm các số nguyên dương $m,n$ sao cho.
$2^{2^n}+5=m^{7}$.

p.s: Chế một cách thô thiển học :v

Lời giải. Ta có bổ đề: Nếu $a,b$ là các số nguyên và $p=4k+3$ là một số nguyên tố thoả mãn $p|a^2+b^2$ thì $p|a,p|b$.

Chứng minh. Xem tại đây.

Quay lại bài toán. Nếu $n=0$ thì không tồn tại $m$ thỏa mãn. Nếu $n \ge 1$ thì $m^7 \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $m \equiv 1 \pmod{4}$. Đặt $m=4k+1$ với $k \in \mathbb{N}^*$. Khi đó phương trình tương đương với $2^{2^n}+4=m^7-1$ hay $$2^{2^n-2}+1= k(m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1)$$

Vì $m \equiv 1 \pmod{4}$ nên $A=m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1 \equiv 3 \pmod{4}$. Do đó $A$ phải có ước nguyên tố $p=4l+3 \; (l \in \mathbb{N})$. Ta suy ra $p|2^{2^n-2}+1$ nên theo bổ đề dẫn đến $p|1$, mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 08-09-2013 - 00:32

[anh qua]

Ồ, anh chế vội quá, không tính đến chỗ 4k+3. Em thay cho anh thành $m^5$ nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 07-09-2013 - 12:33