Chủ đề này có 4 trả lời

[hola0905]

Tìm k nguyên dương để phương trình

$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương

 

[Juliel]

Tìm k nguyên dương để phương trình

$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương

Gọi $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_{0}\geq y_{0}\geq 1$

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$$x^{2}+y_{0}^{2}+x+y_{0}=kxy_{0}\Leftrightarrow x^{2}+x(1-ky_{0})+y_{0}^{2}+y_{0}=0$$

Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_{0}$, gọi nghiệm còn lại là $x_{1}$

Theo định lí $Viete$ :

$$\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=ky_{0}-1 & (1) & \\ x_{0}x_{1}=y_{0}^{2}+y_{0} &  & \end{matrix}\right.$$

Do tính nhỏ  nhất của tổng $x_{0}+y_{0}$ mà ta có $x_{1}\geq x_{0}$.

Do đó từ $(1)$, ta có : $$ky_{0}-1\geq 2x_{0}\Rightarrow \frac{2x_{0}}{y_{0}}+\frac{1}{y_{0}}\leq k$$

Từ phương trình :

$$k=\frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=\left ( \frac{x_{0}}{y_{0}} +\frac{1}{2y_{0}}\right )+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2y_{0}}\leq \frac{k}{2}+1+1+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 5\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3;4;5 \right \}$$

• Với $k=1$, ta có : $x^{2}+y^{2}+x+y=xy$, phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì $x^{2}+y^{2}+x+y\geq 2xy+x+y>xy$
• Với $k=2$ , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
• Với $k=3$, phương trình có nghiệm nguyên dương $(3;2)$ 
• Với $k=4$ thì phương trình có nghiệm $(1;1)$.
• Với $k=5$, dấu bằng phải đồng thời xảy ra ở các điểm :

$\frac{x}{y}+\frac{1}{2y}=\frac{k}{2}=\frac{5}{2},\frac{1}{x}=1,\frac{1}{2y}=1,\frac{y}{x}=1$

Dễ thấy không tồn tại các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn tất cả các điều trên. Trường hợp này bị loại.

Kết luận : $\boxed{k\in \left \{ 3;4 \right \}}$

 

Tks Hoàng, đã sửa !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-09-2013 - 17:55

[LNH]

Tìm k nguyên dương để phương trình

$x^2 + y^2 +x+y=kxy$ có nghiệm (x,y) nguyên dương

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Xét trường hợp $x=y$

$x^2+y^2+x+y=kxy$

$\Leftrightarrow 2x^2+2x=kx^2$

$\frac{2x+2}{x}=k$

$\Rightarrow x\mid 2$

Dễ thấy $k=3,4$

Xét trường hợp $x>y$

Khi đó $y$ không chia hết cho $x$, suy ra $y+1 \vdots x$

Mà $x \geq y+1$ nên $x=y+1$

Thay vào PT ta được

$\left ( y+1 \right )^2+y^2+\left ( y+1 \right )+y=k\left ( y+1 \right )y$

$\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )+y+1=ky$

Suy ra $ y \mid 2$

Làm tương tự như trên suy ra $k=3,4$

Vậy $k \in \left \{ 3,4 \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 07-09-2013 - 17:33

[LNH]

Gọi $\left ( x_{0},y_{0} \right )$ là bộ nghiệm nguyên dương của phương trình thỏa mãn $x_{0}+y_{0}$ nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x_{0}\geq y_{0}\geq 1$

Xét phương trình bậc hai ẩn $x$ :

$$x^{2}+y_{0}^{2}+x+y_{0}=kxy_{0}\Leftrightarrow x^{2}+x(1-ky_{0})+y_{0}^{2}+y_{0}=0$$

Phương trình bậc hai này hiển nhiên có một nghiệm $x_{0}$, gọi nghiệm còn lại là $x_{1}$

Theo định lí $Viete$ :

$$\left\{\begin{matrix} x_{0}+x_{1}=ky_{0}-1 & (1) & \\ x_{0}x_{1}=y_{0}^{2}+y_{0} &  & \end{matrix}\right.$$

Do tính nhỏ  nhất của tổng $x_{0}+y_{0}$ mà ta có $x_{1}\geq x_{0}$.

Do đó từ $(1)$, ta có : $$ky_{0}-1\geq 2x_{0}\Rightarrow \frac{2x_{0}}{y_{0}}+\frac{1}{y_{0}}\leq k$$

Từ phương trình :

$$k=\frac{x_{0}}{y_{0}}+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{y_{0}}=\left ( \frac{x_{0}}{y_{0}} +\frac{1}{2y_{0}}\right )+\frac{y_{0}}{x_{0}}+\frac{1}{x_{0}}+\frac{1}{2y_{0}}\leq \frac{k}{2}+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Rightarrow k\leq 4\Rightarrow k\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$$

• Với $k=1$, ta có : $x^{2}+y^{2}+x+y=xy$, phương trình này vô nghiệm nguyên dương vì $x^{2}+y^{2}+x+y\geq 2xy+x+y>xy$
• Với $k=2$ , tương tự như trên, ta cũng lập luận được phương trình này vô nghiệm nguyên dương
• Với $k=3$, phương trình có nghiệm nguyên dương $(3;2)$ 
• Với $k=4$ thì dấu bằng phải xảy ra ở đồng thời các điểm sau :

$$\frac{x}{y}=1,\frac{1}{x}=1/2,\frac{1}{2y}=\frac{1}{2},\frac{k}{2}=\frac{x}{y}+\frac{1}{2y}$$

Dễ thấy không có các số nguyên $x,y$ nào thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Trường hợp này loại

Kết luận : $\boxed{k=3}$

Với $x=y=1$ thì $k=4$ vẫn thoả mãn mà

[harryhuyen]

Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$

Xét trường hợp $x=y$

$x^2+y^2+x+y=kxy$

$\Leftrightarrow 2x^2+2x=kx^2$

$\frac{2x+2}{x}=k$

$\Rightarrow x\mid 2$

Dễ thấy $k=3,4$

Xét trường hợp $x>y$

Khi đó $y$ không chia hết cho $x$, suy ra $y+1 \vdots x$

Mà $x \geq y+1$ nên $x=y+1$

Thay vào PT ta được

$\left ( y+1 \right )^2+y^2+\left ( y+1 \right )+y=k\left ( y+1 \right )y$

$\Leftrightarrow \left ( y+1 \right )+y+1=ky$

Suy ra $ y \mid 2$

Làm tương tự như trên suy ra $k=3,4$

Vậy $k \in \left \{ 3,4 \right \}$

???? y ko chia hết cho x => y+1 chia hết cho x ?????( x đâu phải nguyên tố)