Chủ đề này có 2 trả lời

[vanhieu9779]

Cho x, y, z, là các số thực dương thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x+y+z+$\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 08-09-2013 - 09:19

[letankhang]

cao x, y, z, là các số thực dương thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x+y+z+$\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

 

Từ giả thiết, ta có: $3(x + y + z) = (x + y)^2 + z^2 \geq \dfrac{(x + y + z)^2}{2} \Leftrightarrow 0 \leq x + y + z \leq 6$

Đặt $t = x + y + z$, khi đó $0 < t \leq 6$ (Do x, y, z > 0)

Ta có:

$P = x + y + z + \dfrac{20}{\sqrt{x + z}} + \dfrac{20}{\sqrt{y + 2}} = t + 20\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x + z}} + \dfrac{1}{\sqrt{y + 2}}\right )$

 

$\geq t + 20.\dfrac{4}{\sqrt{x + z} + \sqrt{y + 2}} \geq t + \dfrac{80}{\sqrt{2(x + y + z + 2)}} = t + \dfrac{80}{\sqrt{2(t + 2)}}$

 

Xét hàm số $f(t) = t + \dfrac{80}{\sqrt{2(t + 2)}}$ với $t \in (0; 6]$ có $f'(t) = 1 - \dfrac{40}{\sqrt{2(t + 2)^3}}$

Khi đó: $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2(\sqrt[3]{100} - 1)$

Do $0 < t \leq 6$ nên ta không nhận giá trị này.

Lập bảng biến thiên, ta tìm được: $\underset{\forall x \in (0; 6]}{Min_{f(t)}} = 26$ khi $t = 6$

Vậy: $Min_P = 26$. Dấu "=" xảy ra khi $x = 1, y = 2, z = 3$

 

 

Trích từ bài viết của Phạm Hữu Bảo Chung

Ở đây bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 08-09-2013 - 08:16

[nghiemthanhbach]

cao x, y, z, là các số thực dương thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy=3(x+y+z)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x+y+z+$\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

lỗi nhỏ @@~