cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
GTLN của P=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
Bắt đầu bởi vanhieu9779, 08-09-2013 - 08:33
#2
Đã gửi 08-09-2013 - 08:46
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 Bài viết
$\sqrt{MF}'s$ $member$
cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopski :
$(1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+1)\geq (a+b+c+1)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+1\geq \frac{(a+b+c+1)^{2}}{4}\Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}\geq \frac{(a+b+c+1)}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}\leq \frac{2}{(a+b+c+1)}$
Áp dụng BĐT AM-GM
$(a+1)+(b+1)+(c+1)\geq 3\sqrt[3]{(a+1)(b+1))(c+1)}\Leftrightarrow (a+b+c+3)^{3}\geq 27(a+1)(b+1)(c+1)\Leftrightarrow \frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{54}{(a+b+c+3)^{3}}\Rightarrow P\leq \frac{2}{a+b+c+1}-\frac{54}{(a+b+c+3)^{3}}$
Đặt $a+b+c+1=k;k>1$
$\Rightarrow P\leq \frac{2}{k}-\frac{54}{(k+2)^{3}}=f(k)$
Đến đây bạn chỉ cần khảo sát hàm số $f(k)$ với $k>1$ là ra thôi 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 08-09-2013 - 08:47
- luuvanthai, canhhoang30011999 và tranducmanh2308 thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 03-04-2021 - 15:24
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
