Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sum\frac{a^3}{(a+b)^3} \geq 3/8$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Hoang Nhat Tung

Hoang Nhat Tung

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Cho a,b,c là các số nguyên dương .CM: 

 $$A= \frac{a^3}{(a+b)^3} +\frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq 3/8$$



#2
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết


Cho a,b,c là các số nguyên dương .CM: 

 $$A= \frac{a^3}{(a+b)^3} +\frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq 3/8$$

Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$ và BĐT đã cho tương đương với

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được

$$\frac{3}{16}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{4}\left [ \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \right ]$$

Ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$

Ta có

$$VT\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$$ 

(Q.E.D)


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#3
Hoang Nhat Tung

Hoang Nhat Tung

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

$\sum \frac{1}{(\frac{a}{b}+1)^3}\geq \frac{3}8{}.Đặt \frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y, \frac{c}{a}=z.hay \sum \frac{1}{x+1}^3 \geq \frac{3}{8}$cách này mới hay này:Ta có 



#4
ngoctruong236

ngoctruong236

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

$\;Ap \;dung \;BDT \;Cauchy \; cho\;3 \;so, \; ta\; co:\; 2(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}=(\frac{a}{a+b})^3+\(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{a}{a+b})^3.(\frac{a}{a+b})^3.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}(\frac{a}{a+b})^2\rightarrow (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b})^2-\frac{1}{16}; \;.Tuong \; tu\;cho \;b \; va\;c\rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}\sum (\frac{a}{a+b})^2-\frac{3}{16}.Mat\;\neq \;ta \;co \;sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}(de\,dang \,cm \,dc ) \rightarrow \;\sum (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$



#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

$\;Ap \;dung \;BDT \;Cauchy \; cho\;3 \;so, \; ta\; co:\; 2(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}=(\frac{a}{a+b})^3+\(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{a}{a+b})^3.(\frac{a}{a+b})^3.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}(\frac{a}{a+b})^2\rightarrow (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b})^2-\frac{1}{16}; \;.Tuong \; tu\;cho \;b \; va\;c\rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}\sum (\frac{a}{a+b})^2-\frac{3}{16}.Mat\;\neq \;ta \;co \;sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}(de\,dang \,cm \,dc ) \rightarrow \;\sum (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$

hình như nhầm ở cái đoạn a bảo dễ dàng cm đc


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#6
tranducmanh2308

tranducmanh2308

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết

hình như nhầm ở cái đoạn a bảo dễ dàng cm đc

đúng rùi còn gì!!! cái đoạn CM cái đó vutuanhien cm rùi còn gì


:wub: >:) :wub: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:ĐÚNG THÌ LIKE :botay :like :botay SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) :ph34r: @};- :ninja: :)) :blink: :P@@@


#7
hippotas

hippotas

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

ta cm bđt phụ $9(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq (x+y+z)^{3}$
ta có $2(x^{3}+y^{3}+z^3) \geq 6xyz$
        $x^3+y^3 \geq xy(x+y), y^3+z^3 \geq yz(y+z),z^3+x^3 \geqslant zx(x+z)$
cộng vế vs vế ta cm đc bđt phụ 
nên$$9\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^3} \geq (\sum \frac{a}{a+b})^{3}$$
đây là 1 dạng của nesbit nên $\sum \frac{a}{(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
nên ta có rút gọn ta có đpcm 
dấu = khi a=b=c 



#8
xuandung1498

xuandung1498

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

ta cm bđt phụ $9(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq (x+y+z)^{3}$
ta có $2(x^{3}+y^{3}+z^3) \geq 6xyz$
        $x^3+y^3 \geq xy(x+y), y^3+z^3 \geq yz(y+z),z^3+x^3 \geqslant zx(x+z)$
cộng vế vs vế ta cm đc bđt phụ 
nên$$9\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^3} \geq (\sum \frac{a}{a+b})^{3}$$
đây là 1 dạng của nesbit nên $\sum \frac{a}{(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
nên ta có rút gọn ta có đpcm 
dấu = khi a=b=c 

cái đoạn nesbit nhầm r anh ạ :D. nesbit là $\sum \frac{a}{(b+c)} \geq \frac{3}{2}$



#9
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$ và BĐT đã cho tương đương với

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có

$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^2}$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được

$$\frac{3}{16}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{4}\left [ \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \right ]$$

Ta chỉ cần chứng minh

$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$

Ta có

$$VT\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$$ 

(Q.E.D)

Cách của bạn rất hay. Mình xin làm một cách nữa:

Ta có: $\frac{a^3+b^3}{2}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^3}{8}$ (Dễ dàng chứng minh)
$\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+b)^3}$  $\geq$ $\frac{1}{4(a^3+b^3)}$ $\Rightarrow$ $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$.
Tương tự: $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $\geq$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$; $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
$\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $+$ $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $+$ $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Áp dụng BĐT Nesbit ta có đpcm.
 


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay


#10
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Cách của bạn rất hay. Mình xin làm một cách nữa:

Ta có: $\frac{a^3+b^3}{2}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^3}{8}$ (Dễ dàng chứng minh)
$\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+b)^3}$  $\geq$ $\frac{1}{4(a^3+b^3)}$ $\Rightarrow$ $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$.
Tương tự: $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $\geq$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$; $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
$\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $+$ $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $+$ $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Áp dụng BĐT Nesbit ta có đpcm.
 

Đề bài là $\frac{a^3}{(a+b)^3}$ chứ có phải $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ đâu bạn :D


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#11
VodichIMO

VodichIMO

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đề bài là $\frac{a^3}{(a+b)^3}$ chứ có phải $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ đâu bạn :D

UK nhỉ hì hì mình làm sai đề rồi


BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC  :namtay





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh