Cho a,b,c là các số nguyên dương .CM:
$$A= \frac{a^3}{(a+b)^3} +\frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq 3/8$$
Cho a,b,c là các số nguyên dương .CM:
$$A= \frac{a^3}{(a+b)^3} +\frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq 3/8$$
Cho a,b,c là các số nguyên dương .CM:
$$A= \frac{a^3}{(a+b)^3} +\frac{b^3}{(b+c)^3} + \frac{c^3}{(c+a)^3} \geq 3/8$$
Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$ và BĐT đã cho tương đương với
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^2}$$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được
$$\frac{3}{16}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{4}\left [ \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \right ]$$
Ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Ta có
$$VT\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$$
(Q.E.D)
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
$\sum \frac{1}{(\frac{a}{b}+1)^3}\geq \frac{3}8{}.Đặt \frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y, \frac{c}{a}=z.hay \sum \frac{1}{x+1}^3 \geq \frac{3}{8}$cách này mới hay này:Ta có
$\;Ap \;dung \;BDT \;Cauchy \; cho\;3 \;so, \; ta\; co:\; 2(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}=(\frac{a}{a+b})^3+\(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{a}{a+b})^3.(\frac{a}{a+b})^3.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}(\frac{a}{a+b})^2\rightarrow (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b})^2-\frac{1}{16}; \;.Tuong \; tu\;cho \;b \; va\;c\rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}\sum (\frac{a}{a+b})^2-\frac{3}{16}.Mat\;\neq \;ta \;co \;sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}(de\,dang \,cm \,dc ) \rightarrow \;\sum (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$
$\;Ap \;dung \;BDT \;Cauchy \; cho\;3 \;so, \; ta\; co:\; 2(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}=(\frac{a}{a+b})^3+\(\frac{a}{a+b})^3+\frac{1}{8}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{a}{a+b})^3.(\frac{a}{a+b})^3.\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}(\frac{a}{a+b})^2\rightarrow (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{4}(\frac{a}{a+b})^2-\frac{1}{16}; \;.Tuong \; tu\;cho \;b \; va\;c\rightarrow \sum (\frac{a}{a+b})^3 \geq \frac{3}{4}\sum (\frac{a}{a+b})^2-\frac{3}{16}.Mat\;\neq \;ta \;co \;sum (\frac{a}{a+b})^2\geq \frac{3}{4}(de\,dang \,cm \,dc ) \rightarrow \;\sum (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}\rightarrow dpcm \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;$
hình như nhầm ở cái đoạn a bảo dễ dàng cm đc
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
hình như nhầm ở cái đoạn a bảo dễ dàng cm đc
đúng rùi còn gì!!! cái đoạn CM cái đó vutuanhien cm rùi còn gì
ĐÚNG THÌ LIKE SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) @@@
ta cm bđt phụ $9(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq (x+y+z)^{3}$
ta có $2(x^{3}+y^{3}+z^3) \geq 6xyz$
$x^3+y^3 \geq xy(x+y), y^3+z^3 \geq yz(y+z),z^3+x^3 \geqslant zx(x+z)$
cộng vế vs vế ta cm đc bđt phụ
nên$$9\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^3} \geq (\sum \frac{a}{a+b})^{3}$$
đây là 1 dạng của nesbit nên $\sum \frac{a}{(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
nên ta có rút gọn ta có đpcm
dấu = khi a=b=c
ta cm bđt phụ $9(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq (x+y+z)^{3}$
ta có $2(x^{3}+y^{3}+z^3) \geq 6xyz$
$x^3+y^3 \geq xy(x+y), y^3+z^3 \geq yz(y+z),z^3+x^3 \geqslant zx(x+z)$
cộng vế vs vế ta cm đc bđt phụ
nên$$9\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^3} \geq (\sum \frac{a}{a+b})^{3}$$
đây là 1 dạng của nesbit nên $\sum \frac{a}{(a+b)} \geq \frac{3}{2}$
nên ta có rút gọn ta có đpcm
dấu = khi a=b=c
cái đoạn nesbit nhầm r anh ạ . nesbit là $\sum \frac{a}{(b+c)} \geq \frac{3}{2}$
Đặt $\frac{b}{a}=x, \frac{c}{b}=y, \frac{a}{c}=z$ thì $xyz=1$ và BĐT đã cho tương đương với
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{8}$$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^2}$$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta thu được
$$\frac{3}{16}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3}\geq \frac{3}{4}\left [ \frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2} \right ]$$
Ta chỉ cần chứng minh
$$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}$$
Ta có
$$VT\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{3}{4}+\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$$
(Q.E.D)
Cách của bạn rất hay. Mình xin làm một cách nữa:
Ta có: $\frac{a^3+b^3}{2}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^3}{8}$ (Dễ dàng chứng minh)
$\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{1}{4(a^3+b^3)}$ $\Rightarrow$ $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$.
Tương tự: $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $\geq$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$; $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
$\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $+$ $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $+$ $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Áp dụng BĐT Nesbit ta có đpcm.
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC
Cách của bạn rất hay. Mình xin làm một cách nữa:
Ta có: $\frac{a^3+b^3}{2}$ $\geq$ $\frac{(a+b)^3}{8}$ (Dễ dàng chứng minh)
$\Rightarrow$ $\frac{1}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{1}{4(a^3+b^3)}$ $\Rightarrow$ $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$.
Tương tự: $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $\geq$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$; $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
$\frac{c^3}{(a+b)^3}$ $+$ $\frac{b^3}{(a+c)^3}$ $+$ $\frac{a^3}{(b+c)^3}$ $\geq$ $\frac{c^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{b^3}{4(a^3+b^3)}$ $+$ $\frac{a^3}{4(b^3+c^3)}$.
Áp dụng BĐT Nesbit ta có đpcm.
Đề bài là $\frac{a^3}{(a+b)^3}$ chứ có phải $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ đâu bạn
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Đề bài là $\frac{a^3}{(a+b)^3}$ chứ có phải $\frac{c^3}{(a+b)^3}$ đâu bạn
UK nhỉ hì hì mình làm sai đề rồi
BẤT ĐẲNG THỨC CHÍNH LÀ THUỐC PHIỆN CỦA TOÁN HỌC
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh