Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}}\leq 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
leduylinh1998

leduylinh1998

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 288 Bài viết

Cho a, b, c dương, thỏa mãn: abc=1. CMR:

$A=\frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+2c^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+2a^{3}+6}}\leq 1$

 

 



#2
nhatduy01

nhatduy01

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 132 Bài viết

Theo Cauchy Schwarz ta có

                               $A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$

Do abc=1 nên ta có

                $\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$

            $\Rightarrow A\leq 1$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1



#3
germany3979

germany3979

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 124 Bài viết

Theo Cauchy Schwarz ta có

                               $A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$

Do abc=1 nên ta có

                $\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$

            $\Rightarrow A\leq 1$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bạn giải thích giúp mình với:

$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$

$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 09-09-2013 - 10:16


#4
hoctrocuanewton

hoctrocuanewton

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 710 Bài viết


Bạn giải thích giúp mình với:

$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$ (1)

$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$

$(a^{3}+b^{3}+1)+(b^{3}+1+1)+3\geqslant 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}}+3\sqrt[3]{b^{3}}+3= 3ab+3b+3$ vậy suy ra 

được (1) 

$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+abc}+\frac{abc}{ac+a^{2}bc+abc}= \frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 09-09-2013 - 19:07





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh