Cho a, b, c dương, thỏa mãn: abc=1. CMR:
$A=\frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+2c^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+2a^{3}+6}}\leq 1$
Cho a, b, c dương, thỏa mãn: abc=1. CMR:
$A=\frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+2c^{3}+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+2a^{3}+6}}\leq 1$
Theo Cauchy Schwarz ta có
$A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$
Do abc=1 nên ta có
$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$
$\Rightarrow A\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Theo Cauchy Schwarz ta có
$A\leq \sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}=\sqrt{\sum \frac{1}{ab+b+1}}$
Do abc=1 nên ta có
$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}=1$
$\Rightarrow A\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Bạn giải thích giúp mình với:
$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$
$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 09-09-2013 - 10:16
Bạn giải thích giúp mình với:
$\sqrt{3\sum (\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+6})}\leq \sqrt{3\sum \frac{1}{3ab+3b+3}}$ (1)
$\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$
$(a^{3}+b^{3}+1)+(b^{3}+1+1)+3\geqslant 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}}+3\sqrt[3]{b^{3}}+3= 3ab+3b+3$ vậy suy ra
được (1)
$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{abc}{bc+c+abc}+\frac{abc}{ac+a^{2}bc+abc}= \frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 09-09-2013 - 19:07
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh