Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{a^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainy_o0o_sunny1: 08-09-2013 - 23:26
Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{a^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainy_o0o_sunny1: 08-09-2013 - 23:26
Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$
Ta có: $\large \sqrt{b^{3}+1}=\sqrt{\left ( b+1 \right )\left ( b^{2}-a+1 \right )}\leq \frac{b^{2}+2}{2}$
Do đó: $\large \frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}$
Thiết lập các BĐT tương tự ta có: $\large VT\geq \sum \frac{2a}{b^{2}+2}$
Ta cần chứng minh $\large \sum \frac{2a}{b^{2}+2}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\leq 4$ (1)
Ta có: $\large VT_{\left ( 1 \right )}\leq \sum \frac{ab^{2}}{\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{2}.\frac{b^{2}}{2}.2}}\leq \frac{1}{9}\left ( 2\sum a+2\sum ab \right )\leq 4$
Từ đó suy ra đpcm
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh