Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{\sqrt{a^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}$ với $a+b+c=6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
rainy_o0o_sunny1

rainy_o0o_sunny1

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{a^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainy_o0o_sunny1: 08-09-2013 - 23:26


#2
Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết

Cho a,,b,c >0 , a+b+c=6 CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}+\frac{b}{\sqrt{c^{3}+1}}+\frac{c}{\sqrt{a^{3}+1}}\geqslant 2$

Ta có: $\large \sqrt{b^{3}+1}=\sqrt{\left ( b+1 \right )\left ( b^{2}-a+1 \right )}\leq \frac{b^{2}+2}{2}$

Do đó: $\large \frac{a}{\sqrt{b^{3}+1}}\geq \frac{2a}{b^{2}+2}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta có: $\large VT\geq \sum \frac{2a}{b^{2}+2}$

Ta cần chứng minh $\large \sum \frac{2a}{b^{2}+2}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{ab^{2}}{b^{2}+2}\leq 4$     (1)

Ta có: $\large VT_{\left ( 1 \right )}\leq \sum \frac{ab^{2}}{\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{2}.\frac{b^{2}}{2}.2}}\leq \frac{1}{9}\left ( 2\sum a+2\sum ab \right )\leq 4$

Từ đó suy ra đpcm


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh