Chủ đề này có 2 trả lời

[VDKAkam]

x,x,z>1 và  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

tìm Max P=$(x-1)(y-1)(z-1)$

[bangbang1412]

Ta chứng minh $maxP=\frac{1}{8}$

Thật vậy ta có bài toán sau với $x,y,z$ dương và $\sum \frac{1}{x+1}\geq 2$ khi đó $xyz\leq \frac{1}{8}$

Do $\sum \frac{1}{x+1}\geq 2=>\frac{1}{1+x}\geq \frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(1+y)(1+z)}}$

Chứng minh tương tự và nhân vế với vế ta có đpcm , đẳng thức xảy ra $<=>x=y=z=\frac{1}{2}$

Thay bộ $[x,y,z]->[x-1,y-1,z-1]$ vào bài toán ta có đpcm , lưu ý đẳng thức xảy ra $<=>x=y=z=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-09-2013 - 21:53

[Juliel]

x,x,z>1 và  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

tìm Max P=$(x-1)(y-1)(z-1)$

Đây là một cách khác :

Áp dụng một bài toán quen thuộc : $(a+b-c)(c+a-b)(b+c-a)\leq abc$

Ta có :$$\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right )\left ( \frac{1}{z}+\frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x} \right )\leq \frac{1}{xyz} \Rightarrow\frac{1}{xyz} \geq \left ( 2-\frac{2}{x} \right )\left ( 2-\frac{2}{y} \right )\left ( 2-\frac{2}{z} \right )\Rightarrow 8-8\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )+8\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz} +\frac{1}{zx}\right )-\frac{8}{xyz}\leq \frac{1}{xyz}\Rightarrow 8xyz-8(xy+yz+zx)+8(x+y+z)\leq 9\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1\leq \frac{1}{8}$$

Kết luận : $MaxP=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{2}$