Chủ đề này có 10 trả lời

[forever friend]

Cho $a, b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác chứng minh $(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)\leq abc$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 23-10-2013 - 12:07

[bangbang1412]

 Rình mò từ tối mới có cái làm . 

Đặt $a+b-c=x,a-b+c=y,b+c-a=z$

Nếu có $1$ trong $3$ số $x,y,z$ âm thì hai số còn lại dương . Do đó ta có đpcm .

Xét TH cả $3$ số dương thì theo cách đặt trên ta thay bộ $[a,b,c]->[\frac{x+y}{2},\frac{y+z}{2},\frac{z+x}{2}]$ , bất đẳng thức lúc này đúng theo $AM-GM$ , đẳng thức $<=>a=b=c$

[Thao Hien]

cho a, b, c không ậm CM \frac{1}{(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}  ≤ abc

 

 

≤

 

≤

Sủa lại cái đề phát.: a,b,c không âm. CMR abc$\geq$(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) (1)
Giải: Trong 3 số b+c-a;a+c-b;a+b-c, không có quá 1 số âm. Thật vậy chẳng hạn nếu b+c-a<0;a+c-b<0 thì 2c<0 trái với gt
Nếu có đúng 1 số âm thì VP (1) âm , (1) hiển nhiên đúng
Nếu không có số âm nào thì VP (1) là số dương
Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z (x;y;z>0)
Dễ dàng CM đc (x+y)(y+z)(z+x)$\geq$8xyz ( cauchy)
(1)<=>2a.2b.2c$\geq$8(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=>đpcm

[Yagami Raito]

Ta có thể chứng minh như sau : 

Ta có $a^2 \geq a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a+c-b)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $b^2 \geq (b+c-a)(b+a-c)$ và $c^2 \geq (c+a-b)(c+b-a)$ 

Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm .

 

Áp dụng phát triển bài toán trên mọi người thử làm bài toán này xem : 

 

 Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2 . Tìm min $A=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$

[Thao Hien]

Ta có thể chứng minh như sau : 

Ta có $a^2 \geq a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a+c-b)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $b^2 \geq (b+c-a)(b+a-c)$ và $c^2 \geq (c+a-b)(c+b-a)$ 

Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta có đpcm .

 

Áp dụng phát triển bài toán trên mọi người thử làm bài toán này xem : 

 

 Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2 . Tìm min $A=4(a^3+b^3+c^3)+15abc$

Ta có thể CM như sau
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=8-6(ab+bc+ca)+3abc (Do a+b+c=2)$
$=>4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc=32-24(ab+bc+ca)+27abc=32+3[9abc-8(ab+bc+ca)]$
$Có :abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$
$=(2-2a)(2-2b)(2-2c)$
$=8[1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc]$
$=8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ca)-8abc$
$=>9abc\geq 8(ab+bc+ca)-8 (Do a+b+c=2)$
$=>9abc-8(ab+bc+ca)\geq -8$
$=>4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc\geq 32+3.(-8)=8$
Dấu = xảy ra khi a=b=c=$\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Hien: 23-10-2013 - 12:51

[Thao Hien]

Liệu các bạn làm được không
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác chu vi=1. CMR: $\frac{2}{9}$$\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc< \frac{1}{4}$
Gợi ý: 0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)$\leq$$(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Hien: 23-10-2013 - 13:03

[Thao Hien]

bạn Jinbe vào lại xem bài hệ pt của mình đi

[hoangtubatu955]

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên tất cả các thừa số của VT đều dương do vậy, theo bất đẳng AM-GM ta có:

$\sqrt{(a+b-c)(a-b+c)} \le \frac{(a+b-c)+(a-b+c)}{2}=a$

Thực hiện thêm 2 BĐT tương tự và nhân lại ta có ngay điều phải chứng minh.

[Thao Hien]

Liệu các bạn làm được không
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác chu vi=1. CMR: $\frac{2}{9}$$\leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc< \frac{1}{4}$
Gợi ý: 0<(1-2a)(1-2b)(1-2c)$\leq$$(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{27}$

Khai triển (1-2a)(1-2b)(1-2c) ra rồi thu gọn ta được
1<$4(ab+bc+ca)-8abc\leq \frac{28}{27} (do a+b+c=1)$
<=>$\frac{3}{4}<ab+bc+ca+(a+b+c)^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}-6abc\leq \frac{7}{9}$
<=>$\frac{-1}{4}<ab+bc+ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}-6abc\leq \frac{-2}{9}$
<=>$\frac{2}{9}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca+6abc<\frac{1}{4}$
Đến đây dùng $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc
Cộng 2 vế vào thêm 3abc nữa là ra

[Thao Hien]

Cho mình hỏi bài này:
$x^{2}+4\sqrt{x+3}=3x+6$
Mình đã tách ra 2 bình phương và thu được 3 nghiệm -2 ; 6 ; 1 thoả mãn hết. nhưng chỉ có 1 nghiệm x=1 là mình thay vào pt đúng còn 2 nghiệm kia không đúng. Hay là sai ĐKXĐ.

[letankhang]

Cho mình hỏi bài này:
$x^{2}+4\sqrt{x+3}=3x+6$
Mình đã tách ra 2 bình phương và thu được 3 nghiệm -2 ; 6 ; 1 thoả mãn hết. nhưng chỉ có 1 nghiệm x=1 là mình thay vào pt đúng còn 2 nghiệm kia không đúng. Hay là sai ĐKXĐ.

Đây là box BĐT và cực trị bạn nhé; bạn không nên post đề này ở đây; lần sau post bên box Phương trình và hệ phương trình nhé

P/s : Nếu bạn bình phương thì trước hết ta có : $PT\Leftrightarrow 4\sqrt{x+3}=-x^{2}+3x+6$

Do đó sẽ có thêm điều kiện là : $-x^{2}+3x+6\geq 0$

Dễ thấy $x=-2;x=6$ đều không thỏa ĐK trên.

Bình phương thì trâu quá @@!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 23-10-2013 - 21:01