Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

 

[25 minutes]

Cho $a,b,c$ là các số dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geq 3$

Áp dụng AM-GM ta chỉ cần chứng minh 

            $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(c+ab)(b+ac)(a+bc)}\geqslant 1$

Ta có $(a+bc)(b+ac)\leqslant \frac{(a+bc+b+ac)^2}{4}=\frac{(c+1)^2(a+b)^2}{4}$

Tương tự ta cũng có $(b+ac)(c+ab)\leqslant \frac{(a+1)^2(b+c)^2}{4}$

                                  $(c+ab)(a+ac)\leqslant \frac{(b+1)^2(a+c)^2}{4}$

Nhân $3$ bất đẳng thức trên lại rồi khai căn ta được

                 $(a+bc)(b+ca)(c+ab)\leqslant \frac{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$

    $\Rightarrow \frac{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{8}\leqslant \frac{(a+1+b+1+c+1)^3}{27.8}=1$

   $\Rightarrow \frac{(a+b)(b+a)(c+a)}{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}\geqslant 1$

Vậy $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}\geqslant 3$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$