Chủ đề này có 3 trả lời

[NLBean]

Xác định tất cả các cặp số nguyên (a,b) sao cho hai số $a^{2} + 4b$ và $b^{2} + 4a$ đều là những số chính phương

[Zaraki]

Xác định tất cả các cặp số nguyên (a,b) sao cho hai số $a^{2} + 4b$ và $b^{2} + 4a$ đều là những số chính phương

Lời giải. Ta xét các trường hợp:

$\blacktriangleright$ Trường hợp 1. Nếu $a \ge 2b \ge 1$ thì $a^2<a^2+4b < (a+1)^2$, mâu thuẫn.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 2. Nếu $2b \ge a \ge 1$ thì $b^2<b^2+4a < b^2+8b+16=(b+4)^2$. 

Nếu $b^2+4a=(b+1)^2 \Leftrightarrow 4a= 2b+1$, mâu thuẫn vì $VT$ chẵn mà $VP$ lẻ.

Nếu $b^2+4a=(b+2)^2 \Leftrightarrow a=b+1$. Khi đó $a^2+4b=(b+3)^2-8$ là số chính phương. Ta đặt $(b+3)^2-8=x^2$ với $x \in \mathbb{N}$. Khi đó $(b+3-x)(b+3+x)=8$. Vì $b+3+x \ge b+3-x$ nên ta có các khả năng sau:

Khả năng 1. Nếu $\begin{cases} b+3-x= 2 \\ b+3+x=4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=0 \\ x=1 \end{cases}$, mâu thuẫn.

Khả năng 2. Nếu $\begin{cases} b+3-x=-4 \\ b+3+x=-2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b=-6 \\ x=1 \end{cases}$. Khi đó $a=-5$, mâu thuẫn.

Nếu $b^2+4a=(b+3)^2 \Leftrightarrow 4a=6b+9$, mâu thuẫn.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 3. Nếu ít nhất một trong hai số $a,b$ bằng $0$ thì số còn lại phải là số chính phương.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 4. Nếu $-1 \ge a \ge 2b$. Khi đó ta có $b^2>b^2+4a \ge b^2+8b$.

Nếu $b^2>b^2+4a \ge b^2+8b+16=(b+4)^2$. Ta suy ra $b^2+4a=(b+4)^2$ hoặc $b^2+4a=(b+2)^2$.

Khả năng 1. Nếu $b^2+4a=(b+4)^2 \Leftrightarrow a=2b+4$. Khi đó $a^2+4b= (2b+4)^2+4b=4(b^2+5b+4)$ là số chính phương. Đặt $4b^2+20b+16=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (2b+5-x)(x+2b+5)=9$. Vậy $b=-5,a=-6$.

Khả năng 2. Nếu $b^2+4a=(b+2)^2 \Leftrightarrow a=b+1$. Giải tương tự như ở trường hợp 2.

Nếu $b^2+4a<b^2+8b+16 \Leftrightarrow a <2b+4$ mà $a \ge 2b$ nên $a \in \{ 2b,2b+1,2b+2,2b+3 \}$.

Khả năng 1. Nếu $a=2b$ thì $a^2+4b=4b^2+4b=x^2 \; (x \in \mathbb{N})$ là số chính phương khi $(x-2b-1)(x+2b+1)=1$. Ta thu được $x=0$. Khi đó $b=-1$ nên $a=-2$, mâu thuẫn vì $b^2+4a<0$.

Khả năng 2. Nếu $a=2b+1$ thì $a^2+4b=4b^2+8b+1=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (2b+2-x)(x+2b+2)=3$. Ta thu được $b=-2 \Rightarrow a=-3$, mâu thuẫn vì $b^2+4a<0$.

Khả năng 3. Nếu $a=2b+2$ thì $a^2+4b=4(b^2+3b+1)=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (2b+3-x)(2b+3+x)=5$. Ta thu được $x=2$ thì $b=-3$. Khi đó $a=-4$, mâu thuẫn vì $b^2+4a<0$.

Khả năng 4. Nếu $a=2b+3$ thì $a^2+4b=4b^2+16b+9=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (2b+4-x)(2b+4+x)=7$. Ta thu được $x=3$ nên $b=-4$. Khi đó $a=-5$, mâu thuẫn vì $b^2+4a<0$.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 4. Nếu $-1 \ge 2b \ge a$ thì $a^2>a^2+4b \ge a^2+2a$.

Nếu $a^2+4b=a^2+2a \Rightarrow 2b=a$, giải tương tự trường hợp 4.

Nếu $a^2+4b=a^2+2a+1 \Rightarrow 4b=2a+1$, mâu thuẫn.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 5. Nếu $a \ge -1 \ge 2b$ thì $a^2+4b<a^2$. Vì $a^2+4b$ chính phương nên $a^2 \ge |4b|$.

Nếu $|2b| \le a$ thì $a^2>a^2-|4b| \ge a^2-2a$.

Khả năng 1. Nếu $a^2+4b=a^2-2a \Rightarrow 2b+a=0$. Khi đó $b^2+4a=(b+4)^2-16=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (b+4-x)(b+4+x)=16$. Ta không tìm được giá trị nào thoả mãn.

Khả năng 2. Nếu $a^2+4b=a^2-2a+1 \Rightarrow 4b+2a=1$, mâu thuẫn.

Nếu $|2b|>a$ thì $b^2<b^2+4a<b^2-8b+16=(b-4)^2$. Vậy $b^2+4a=(b-2)^2 \Rightarrow a+b=1$. Điều kiện này thoả mãn đề ra.

 

$\blacktriangleright$ Trường hợp 6. Nếu $2b \ge -1 \ge a$.

Nếu $|a| \le 2b$ thì $b^2>b^2-|4a| \ge b^2-8b$.

Khả năng 1. $b^2>b^2+4a \ge b^2-8b+16=(b-4)^2$ thì $b^2+4a=(b-2)^2 \Rightarrow a+b=1$, giải tương tự như trường hợp 5 hoặc $b^2+4a=(b-4)^2 \Rightarrow a+2b=4$. Thay vào ta có $a^2+4b= (a-1)^2+7=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (a-1-x)(a-1+x)=-7$. Khi đó $a=-2,b=3$.

Khả năng 2. Nếu $b^2+4a<b^2-8b+16 \Rightarrow a+2b<4$. Vậy $b =1$. Khi đó $a^2+4b=a^2+1=x^2 \; (x \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow (x-a)(x+a)=1$. Vậy $a=0$, mâu thuẫn.

Nếu $|a|>2b$ thì $a^2<a^2+4b<a^2-2a+1=(a-1)^2$, mâu thuẫn.

Vậy cặp số nguyên $(a,b)$ thoả mãn là $\boxed{ (a,b)=(0,k^2),(k^2,0),(-5,-6),(-6,-5),(k,1-k)}$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$.

[Zaraki]

Gửi mọi người hai bài tương tự.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên $a,b$ sao cho $a^2+5b$ và $b^2+5a$ là số chính phương.

Bài 2. Cho hai phương trình $x^2-a+b=0$ và $x^2-b+a=0$ đều có nghiệm nguyên. Tìm $a,b$.

[Kylie Nguyen]

Anh ơi cho em hỏi nếu a=b=-4 thì sao ạ?