Chủ đề này có 1 trả lời

[Strygwyr]

Bài toán :

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}})$

(Đề chọn đội tuyển HSG Phú Thọ vòng 1 năm 2013-2014)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Strygwyr: 12-09-2013 - 00:16

[vutuanhien]

Bài toán :

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$

Tìm GTNN của biểu thức

$P=(a^{4}+b^{4}+c^{4})(\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}})$

(Đề chọn đội tuyển HSG Phú Thọ vòng 1 năm 2013-2014)

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $a\geq b$. Đặt $\frac{a}{b}=x$ thì $x\geq 1$

Ta có

$(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})$

$=(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-\left [ (a+b)\frac{1}{c}+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})c \right ]+1$

$\leq (a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-2\sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}+1$

$=\left [ \sqrt{(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}-1 \right ]^2$

$=(\sqrt{x+\frac{1}{x}+2}-1)^2$

Suy ra $(\sqrt{x+\frac{1}{x}+2}-1)^2\geq 4\Rightarrow x+\frac{1}{x}\geq 7$

Mặt khác:

$(a^4+b^4+c^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})$

$=(a^4+b^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})+\left [ (a^4+b^4)\frac{1}{c^4}+(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})c^4 \right ]+1$

$\geq (a^4+b^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})+2\sqrt{(a^4+b^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})}+1$

$=\left [ \sqrt{(a^4+b^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4})}+1 \right ]^2=(x^2+\frac{1}{x^2}+1)^2$

$=\left [ (x+\frac{1}{x})^2-1 \right ]^2\geq (7^2-1)^2=2304$

Đẳng thức xảy ra khi nào Nam tự tìm nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 12-09-2013 - 19:35