Chủ đề này có 13 trả lời

[Rantaro]

Tính giới hạn $$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}+\sin x \right)^{\dfrac{1}{\sin x+x}}$$

 

Cám ơn các bạn nhiều

[duongtoi]

Tính giới hạn $$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}+\sin x \right)^{\dfrac{1}{\sin x+x}}$$

 

Cám ơn các bạn nhiều

Chả biết có nhầm chỗ nào k nữa.

Ta có $A=\left (\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x}+\sin x) \right )^{\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x+x}}=1^{\infty}=e$

[bangbang1412]

Chả biết có nhầm chỗ nào k nữa.

Ta có $A=\left (\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x}+\sin x) \right )^{\lim_{x\to0}\frac{1}{\sin x+x}}=1^{\infty}=e$

sai rồi bạn ạ , $lim(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ và cái kia không ở dạng này , bài này mình nghĩ dùng lopital

[Rantaro]

sai rồi bạn ạ , $lim(1+\frac{1}{n})^{n}=e$ và cái kia không ở dạng này , bài này mình nghĩ dùng lopital

Mình làm thế này có được không bạn

 

Đặt $A=\left(\dfrac{\sin x}{x}+\sin x\right)^{\frac{1}{\sin x+x}} \Rightarrow \ln A=\dfrac{1}{\sin x + x}.\ln\dfrac{\sin x+x\sin x}{x}$

 

Ta có:

 

$\lim_{x\to 0}\ln A=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln \left( \dfrac{\sin x}{x}+\sin x\right)}{\sin x + x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}+\cos x \right).\dfrac{x}{\sin x+x\sin x}}{\cos x +1}$

 

$=\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\cos x+x\cos x-\sin x}{(\sin x+x\sin x)(\cos x+1)}$

 

$=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x\cos x-x^2\sin x+\cos x-x\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x+x\cos x)(\cos x+1)-(\sin x+x\sin x)(-\sin x)}$

 

$=\dfrac{0-0+1-0-1}{1.2-0}=0$

 

Vậy $\lim_{x\to 0}A=e^0=1$.

[Kool LL]

 Tính giới hạn $$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}+\sin x \right)^{\dfrac{1}{\sin x+x}}$$

Cám ơn các bạn nhiều

 

Đây là giới hạn dạng $1^{\infty}$, vì $f(x)=u(x)^{v(x)}$ với $\lim u(x)=1$ và $\lim v(x)=\infty$.PP chung để tính $\lim f(x)$ như sau :

* Chú ý : $\lim\frac{\ln1+[u-1]}{u-1}=1\quad(*)$

* $\lim f=\lim e^{\ln{u^v}}$$=\lim e^{v.\ln u}$$=e^{\lim (v.\ln u)}$$=e^{ \lim\left[ \frac{(u-1)}{\frac{1}{v}}. \frac{\ln [1+(u-1)]}{u-1}\right]}$$=e^{ \lim\left[\frac{u-1}{\frac{1}{v}}\right]. \lim\frac{\ln [1+(u-1)]}{u-1} }$$\overset{(*)}{=}e^{ \lim\left[\frac{u-1}{\frac{1}{v}}\right]. 1 }=...$ đến đây có thể rút gọn $\frac{u-1}{\frac{1}{v}}$ rồi dùng qui tắc L'Hospital để tính tiếp ra kết quả.

 

Quay trở lại bài toán :

Đặt $f(x)=\left(\dfrac{\sin x}{x}+\sin x \right)^{\dfrac{1}{\sin x+x}}$. Ta có :

* $\lim_{x\to 0}f(x)=...$ $=e^{ \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{\sin x}{x}+\sin x-1 }{\sin x+x} }$ $=e^{ \lim_{x\to 0} \frac{ \sin x+x.\sin x-x }{x.\sin x+x^2} }$ $\overset{L'Hospital}{====} e^{ \lim_{x\to 0} \frac{\cos x+\sin x+x.\cos x-1 }{\sin x+x\cos x +2x } }$ $\overset{L'Hospital}{====} e^{ \lim_{x\to 0} \frac{-\sin x+\cos x +cos x -x\sin x }{\cos x+\cos x -x\sin x+2} }=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$.

 

--------------------------------------------------------------------------------

 

Cũng có thể làm như sau :

* $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \quad(**)$

* $\lim_{x\to 0}f(x)=...$ $=e^{ \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{\sin x}{x}+\sin x-1 }{\sin x+x} }$ $\overset{(**)}{=}e^{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin x+x} }$ $=e^{ \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{\sin x}{x} }{ \frac{\sin x}{x}+1 } }$ $\overset{(**)}{=}e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 12-09-2013 - 18:42

[Kool LL]

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\left(\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}+\cos x \right).\dfrac{x}{\sin x+x\sin x}}{\cos x +1}$

 

$=\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\cos x+x\cos x-\sin x}{(\sin x+x\sin x)(\cos x+1)}$

 

 

Bước này biến đổi sai rồi, còn một nhân tử $x$ ở dưới mẫu nữa !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 12-09-2013 - 18:50

[vo van duc]

Nếu kiểm tra bằng máy tính ta có thể thấy ngay rằng đáp số của bài toán là $\sqrt{e}$

 

Tôi làm như sau. Anh em góp ý nha! hihi

.................................

 

Khi $x\rightarrow 0$ thì $\sin x\sim x$

 

Khi đó

 

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{\sin x}{x}+\sin x \right )^{\frac{1}{\sin x+x}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{x}{x}+x \right )^{\frac{1}{x+x}} \\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{2x}} \\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left [ \left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}} \right ]^{\frac{1}{2}} \\ &=& \sqrt{e} \end{eqnarray}$

[Mrnhan]

Nếu kiểm tra bằng máy tính ta có thể thấy ngay rằng đáp số của bài toán là $\sqrt{e}$

 

Tôi làm như sau. Anh em góp ý nha! hihi

.................................

 

Khi $x\rightarrow 0$ thì $\sin x\sim x$

 

Khi đó

 

$\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{\sin x}{x}+\sin x \right )^{\frac{1}{\sin x+x}} &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( \frac{x}{x}+x \right )^{\frac{1}{x+x}} \\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{2x}} \\ &=& \underset{x\rightarrow 0}{lim}\left [ \left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}} \right ]^{\frac{1}{2}} \\ &=& \sqrt{e} \end{eqnarray}$

Em nhớ thầy nói là cái VCB và VCL chỉ áp dụng cho tích và thương, không được áp dụng cho tổng và hiệu, thế anh làm thế có chuẩn không, mặc dù đáp có đúng?

[bangbang1412]

Em nhớ thầy nói là cái VCB và VCL chỉ áp dụng cho tích và thương, không được áp dụng cho tổng và hiệu, thế anh làm thế có chuẩn không, mặc dù đáp có đúng?

Được mà , trong giáo trình của mình lưu ý một số vô cùng bé đặc biệt là :

  Nếu $x->0$ thì $sinx=x,tgx=x,arcsinx=x,arctgx=x,ln(x+1)=x$ 

Dấu $=$ ở đây hiểu là xấp xỉ nhé 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 17-09-2013 - 18:08

[Mrnhan]

Được mà , trong giáo trình của mình lưu ý một số vô cùng bé đặc biệt là :

  Nếu $x->0$ thì $sinx=x,tgx=x,arcsinx=x,arctgx=x,ln(x+1)=x$ 

Dấu $=$ ở đây hiểu là xấp xỉ nhé 

Ý mình là cách sử dụng, còn mấy cái trên thì đúng rồi!

[bangbang1412]

Ý mình là cách sử dụng, còn mấy cái trên thì đúng rồi!

Có được làm như anh Đức mà 

[letrongvan]

Em nhớ thầy nói là cái VCB và VCL chỉ áp dụng cho tích và thương, không được áp dụng cho tổng và hiệu, thế anh làm thế có chuẩn không, mặc dù đáp có đúng?

 

Được mà , trong giáo trình của mình lưu ý một số vô cùng bé đặc biệt là :

  Nếu $x->0$ thì $sinx=x,tgx=x,arcsinx=x,arctgx=x,ln(x+1)=x$ 

Dấu $=$ ở đây hiểu là xấp xỉ nhé 

Không phải lúc nào cũng dùng vcb tương đương được, nhưng có trường hợp dùng trong tổng hiệu được, không biết diễn giải ra sao nhưng cái điều kiện để có thể thay là cả tử và mẫu hay gì đó cùng phải tiến về 0 khi x tiến về 0, lâu rồi không học lý thuyết nên không nhớ rõ lắm

[letrongvan]

Em nghĩ anh Đức làm bài này cũng không ổn

[Mrnhan]

Em nghĩ anh Đức làm bài này cũng không ổn

Cái này em đã thông qua thầy, và thầy phán 1 câu: "Không được!". Mong anh mấy ac xem lại!