Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia Đà Nẵng 2013-2014 (2 Ngày)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#21
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bổ đề đấy em lấy ở đâu vậy, nếu tự em đếm thì em đếm như thế nào, thực ra những con số em nêu ra là chính xác rồi còn em nói số cách tô có ít nhất 1 tứ giác đều, 2 tứ giác đều,.. là chưa chính xác.

Bài toán đúng là chỉ cần xét trên 12 đỉnh. GIả sử gọi các đỉnh theo thứ tự là từ 1 đến 12 chẳng hạn, thì để đếm các tam giác đều và tứ giác đều ta phải có 1 nhận định là 1 tam giác đều và 1 tứ giác đều có chung với nhau đúng 1 đỉnh thôi. Khi đó ta có thể viết các đỉnh như thế này

1     5     9

4     8    12

7    11    3

10   2    6

Mỗi hàng ngang là 1 tam giác đều, mỗi cột là 1 tứ giác đều, mỗi hàng có 6 cách tô để k cùng màu nên có $6^4$ k có tam giác đơn sắc.

Tiếp theo chính xác ta phải gọi $A_1,A_2,A_3$ lần lượt là tập hợp các cách tô để cột 1,2,3 đơn sắc và k có hàng nào đơn sắc.

như vậy chọn 1 cột tô cùng màu thì 2 số còn lại ở mỗi hàng có 3 cách tô để k tạo ra 1 hàng cùng màu nên $|A_1|=|A_2|=|A_3|=2.3^4$

tương tự như vậy thì giao của 2 tập bất kì trong 3 tập trên sẽ có $2+2.2^4$ phần tử và giao 3 tập là có 8 phần tử.

Đến đây dùng nguyên lí bù trừ và có lẽ là ra kết quả giống như trên.

 

 

em nghĩ là nên giải thích tại sao chỉ đếm đến 12 giác đều là đủ anh ạ. Đáp án đúng nhưng thiếu cái đó chắc bị trừ :(

Thực ra có một lần em đã gặp bài này rồi (tất nhiên là với 12 cạnh). Ý tưởng chính của bài này là đếm số cách tô màu sao cho không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu nên ta có thể chia 24 đỉnh của 24-giác đều trên thành 2 12-giác đều. Tập hợp các đỉnh của tam giác đều và tứ giác đều trên chỉ thuộc đúng một trong 2 tập hợp các đỉnh của mỗi 12-giác đều. Vì vậy, số cách tô màu của 2 12-giác đều này độc lập với nhau nên ta có thể tô như trên (hôm qua làm máy móc quá đem sử dụng nguyên lí bù trừ cho 6 tứ giác đều :()

P/s Karl Henrich Marx: Số cách tô màu sao cho có 3 tứ giác đều cùng màu là $6$ :))



#22
Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết

Thực ra có một lần em đã gặp bài này rồi (tất nhiên là với 12 cạnh). Ý tưởng chính của bài này là đếm số cách tô màu sao cho không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu nên ta có thể chia 24 đỉnh của 24-giác đều trên thành 2 12-giác đều. Tập hợp các đỉnh của tam giác đều và tứ giác đều trên chỉ thuộc đúng một trong 2 tập hợp các đỉnh của mỗi 12-giác đều. Vì vậy, số cách tô màu của 2 12-giác đều này độc lập với nhau nên ta có thể tô như trên (hôm qua làm máy móc quá đem sử dụng nguyên lí bù trừ cho 6 tứ giác đều :()

P/s Karl Henrich Marx: Số cách tô màu sao cho có 3 tứ giác đều cùng màu là $6$ :))

Uhm là 6, anh nhầm, phần chỉ ra tại sao chỉ xét 12 đỉnh thì có thể đánh số các đỉnh từ 1 đến 24 khi đó ta dễ dàng cm đc là 2 đỉnh của 1 tam giác đều thì trị tuyệt đối chia hết cho 8, còn 2 đỉnh của tứ giác đều trị tuyệt đối chia hết cho 6 nên các đỉnh của 1 tg đều hoặc tứ giác đều cùng tính chẵn lẻ do vậy nếu phân hoạch thành các đỉnh chẵn và đỉnh lẻ thì tam giác và tứ giác đều chỉ thuộc 1 trong 2 tập đỉnh kia thôi k thể thuộc cả 2 đc.

Đương nhiên những phần này phải lập luận, lời giải trên diễn đàn chỉ là ý tưởng chính thôi còn trình bày thì cần chặt chẽ dữ lắm chứ k nói đại đc đâu, trong tổ hợp đôi khi muốn diễn đạt 1 ý đơn giản nhưng rất khó khăn, các em nên tập cách thể hiện suy nghĩ của mình bằng lập luận tốt hơn là ngồi làm nhiều bài tập.


  • LNH yêu thích

#23
thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết

Bài 1: (5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x + y) = {x^2}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {y^2}f\left( {\frac{1}{y}} \right),\forall x,y \in \mathbb{R^*}$

$f(x + y) = {x^2}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {y^2}f\left( {\frac{1}{y}} \right) (1)

- Giả sử ta có hàm f thỏa mãn yêu cầu đề bài, khi đó ta có (1)
- Trong (1), cho x=y khác 0, ta được: 

 $f(2x)=2x^{2}.f(\frac{1}{x})$

- Khi đó (1) tương đương:

$f(x+y)=\frac{f(2x)+f(2y)}{2}$ (2) 

+ Trong (2), thay x bởi $\frac{1}{x}$, thay y bởi $\frac{1}{y}$, ta được:

$f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2}$

=> f(x)= ax+b 

- Thế lại vào (1) để xác định a,b => b=0

KL: $f(x)=ax$ với a bất kì


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 16-09-2013 - 01:30

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#24
nguyentatthu

nguyentatthu

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Bổ đề: số cách tô màu cho đa giác đều 12 cạnh sao cho không có mẫu đơn sắc nào là $906$

Xét đa giác đều 12 cạnh:

Ta chỉ cần đếm số cách tô màu không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu (có 4 tam giác đều và 3 tứ giác đều)

Có $6^4$ cách tô sao cho không có tam giác đều nào cùng màu

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $1$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times 2\times 3^4$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $2$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times \left(2+2\times 2^4 \right)$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có $3$ tứ giác đều cùng màu: Có $6$ cách tô

Theo nguyên lí bù trừ ta có tổng cộng $906$ cách tô

Quay lại bài toán:

Ta nhận thấy rằng số cách tô màu 24-giác đều sao cho không có một mẫu đơn sắc nào cungx chính là số cách tô màu $2$ 12-giác đều không có một mẫu đơn sắc nào được tạo bởi $24$ đỉnh trên: $906^2$ cách tô (áp dụng bổ đề trên)

Bài này còn có các tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều, bát giác đều nữa.


Đã cam lấy bút làm chèo

Con thuyền nhân ái xin neo cuối trời.


#25
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Bài này còn có các tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều, bát giác đều nữa.

Thưa thầy, tại vì lục giác đều được tạo bởi 2 tam giác đều, bát giác đều được tạo bởi 2 tứ giác đều nên nếu không có tam giác đều cùng màu thì sẽ không có lục giác đều cùng màu, không có tứ giác đều cùng màu thì không có bát giác đều cùng màu :)



#26
dkhanhht98

dkhanhht98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 36 Bài viết

Bổ đề: số cách tô màu cho đa giác đều 12 cạnh sao cho không có mẫu đơn sắc nào là $906$

Xét đa giác đều 12 cạnh:

Ta chỉ cần đếm số cách tô màu không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu (có 4 tam giác đều và 3 tứ giác đều)

Có $6^4$ cách tô sao cho không có tam giác đều nào cùng màu

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $1$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times 2\times 3^4$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $2$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times \left(2+2\times 2^4 \right)$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có $3$ tứ giác đều cùng màu: Có $6$ cách tô

Theo nguyên lí bù trừ ta có tổng cộng $906$ cách tô

Quay lại bài toán:

Ta nhận thấy rằng số cách tô màu 24-giác đều sao cho không có một mẫu đơn sắc nào cungx chính là số cách tô màu $2$ 12-giác đều không có một mẫu đơn sắc nào được tạo bởi $24$ đỉnh trên: $906^2$ cách tô (áp dụng bổ đề trên)

Bạn có thể giải thích bù trừ thế nào không? Mình chưa hiểu lắm!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dkhanhht98: 23-06-2014 - 21:16





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh