Bổ đề đấy em lấy ở đâu vậy, nếu tự em đếm thì em đếm như thế nào, thực ra những con số em nêu ra là chính xác rồi còn em nói số cách tô có ít nhất 1 tứ giác đều, 2 tứ giác đều,.. là chưa chính xác.
Bài toán đúng là chỉ cần xét trên 12 đỉnh. GIả sử gọi các đỉnh theo thứ tự là từ 1 đến 12 chẳng hạn, thì để đếm các tam giác đều và tứ giác đều ta phải có 1 nhận định là 1 tam giác đều và 1 tứ giác đều có chung với nhau đúng 1 đỉnh thôi. Khi đó ta có thể viết các đỉnh như thế này
1 5 9
4 8 12
7 11 3
10 2 6
Mỗi hàng ngang là 1 tam giác đều, mỗi cột là 1 tứ giác đều, mỗi hàng có 6 cách tô để k cùng màu nên có $6^4$ k có tam giác đơn sắc.
Tiếp theo chính xác ta phải gọi $A_1,A_2,A_3$ lần lượt là tập hợp các cách tô để cột 1,2,3 đơn sắc và k có hàng nào đơn sắc.
như vậy chọn 1 cột tô cùng màu thì 2 số còn lại ở mỗi hàng có 3 cách tô để k tạo ra 1 hàng cùng màu nên $|A_1|=|A_2|=|A_3|=2.3^4$
tương tự như vậy thì giao của 2 tập bất kì trong 3 tập trên sẽ có $2+2.2^4$ phần tử và giao 3 tập là có 8 phần tử.
Đến đây dùng nguyên lí bù trừ và có lẽ là ra kết quả giống như trên.
em nghĩ là nên giải thích tại sao chỉ đếm đến 12 giác đều là đủ anh ạ. Đáp án đúng nhưng thiếu cái đó chắc bị trừ
Thực ra có một lần em đã gặp bài này rồi (tất nhiên là với 12 cạnh). Ý tưởng chính của bài này là đếm số cách tô màu sao cho không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu nên ta có thể chia 24 đỉnh của 24-giác đều trên thành 2 12-giác đều. Tập hợp các đỉnh của tam giác đều và tứ giác đều trên chỉ thuộc đúng một trong 2 tập hợp các đỉnh của mỗi 12-giác đều. Vì vậy, số cách tô màu của 2 12-giác đều này độc lập với nhau nên ta có thể tô như trên (hôm qua làm máy móc quá đem sử dụng nguyên lí bù trừ cho 6 tứ giác đều )
P/s Karl Henrich Marx: Số cách tô màu sao cho có 3 tứ giác đều cùng màu là $6$