Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ. Chủ đề này có 3 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU
• Giới tính:Nam

Đã gửi 26-01-2005 - 18:17

Bài 1:Xác định số lời giải thực $a$ của phương trình:
$[\dfrac{a}{2}]+[\dfrac{a}{3}]+[\dfrac{a}{5}]=a$
([x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Bài 2:Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho:
$x=(x-\dfrac{1}{x})^{\dfrac{1}{2}}+(1-\dfrac{1}{x})^{\dfrac{1}{2}}$.
Bài 3:Cho $n\ge{2}$ là một số tự nhiên.CMR:
$\dfrac{1}{n+1}(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2n-1})>\dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2n})$.
Bài 4:Cho $ABC$ là một tam giác với $D$ và $E$ là các điểm nằm trên các cạnh $AC$ và $AB$ tương ứng, sao cho:$\hat{BCE}=70^0$.Cho $BD,CE$ gặp nhau tại $F$.CMR:$AF$ vuông góc với $BC$.
Bài 5:Cho $m$ là số nguyên dương.Xác định dãy $(a_n),n=0,1,2...$như sau:$a_0=0,a_1=m,a_{n+1}=m^2a_n-a_{n-1}$với$n\ge{1}$.CMR:Một cặp thứ tự $(a,b)$ các số tự nhiên,với $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiên n mà$(a,b)=(a_n,a_{n+1})$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 01-05-2009 - 11:14

1728

#2 AnSatTruyHinh

AnSatTruyHinh
• Giới tính:Nam

Đã gửi 08-01-2011 - 22:51

Cho mình xin lời giải bài 5 với

#3 tuan101293

tuan101293
• Giới tính:Nam
• Đến từ:Hà Nội
• Sở thích:Bóng bàn ,cầu lông ,học toán ,.......

Đã gửi 25-01-2011 - 21:53

Cho mình xin lời giải bài 5 với

Show that non-negative integers a ≤ b satisfy (a2 + b2) = n2(ab + 1), where n is a positive integer, iff they are consecutive terms in the sequence ak defined by a0 = 0, a1 = n, ak+1 = n2ak - ak-1.
Solution

If n = 1, then the sequence is 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, ... . Thus the only consecutive non-negative terms a, b with a ≤ b are 0, 1 and 1, 1 both of which satisfy the equation.

Conversely suppose that a ≤ b is a solution for n = 1. Then a2 + b2 = ab + 1. If 1 < a, then 1 < a2, ab ≤ b2, so 1 + ab < a2 + b2. Contradiction. So a = 0 or 1. If a = 0, then b2 = 1, so b = 1. If a = 1, then 1 + b2 = b + 1, so b = 0 or 1, but b ≥ a = 1, so b = 1. Thus the only solutions are a = 0, b = 1, or a = 1, b = 1.

So assume n > 1. It is a trivial induction to show that ak < ak+1. Now it is an easy induction on k to show that consecutive terms ak-1, ak satisfy the equation. It is true for k = 1: (02 + n2) = n2(0.n + 1). Suppose it is true for k. Then we have ak+1 + ak-1 = n2ak. Hence ak+12 - ak-12 = n2ak(ak+1 - ak-1). Adding to ak2 + ak-12 =n2(akak-1 + 1), we get ak+12 + ak2 =n2(ak+1ak + 1), which completes the induction.

Now suppose that a ≤ b is any solution in non-negative integers of a2 + b2 = n2(ab + 1). The idea is to show that n2a - b, a is a smaller solution.

If a = b, then 2a2 = n2(a2 + 1) ≥ 4(a2 + 1) > 2a2. Contradiction. So a < b. If a = 0, then b2 = n2, so b = n. This solution belongs to the sequence. So assume a > 0.

If b > n2a, then b >= n2a + 1, so b2 ≥ n2ab + b > n2ab + n2a ≥ n2(ab + 1), so a2 + b2 > n2(ab + 1). Contradiction. So n2a - b ≥ 0. If n2a ≥ a + b, then n2ab ≥ ab + b2 > a2 + b2. Contradiction. So n2a - b < a. Finally, (n2a - b)2 + a2 = n4a2 - 2n2ab + a2 + b2 = n2( a(n2a - b) + 1) + (a2 + b2 - n2(ab + 1) ), so if a, b is a solution, then so is n2a - b, a.

Thus if we start with any solution 0 < a ≤ b, we can derive a solution a' < a, where the relationship between a', a and b is the same as that between ak-1, ak and ak+1. This process must terminate, so eventually we get a solution 0, c. But we have shown that this must be 0, n. So we must have been moving down the sequence ak. Hence a, b must be consecutive terms in that sequence.
********
ngại dịch thông cảm

KT-PT

Do unto others as you would have them do unto you.

#4 NightBaron

NightBaron
• Giới tính:Nam
• Đến từ:11A1 THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam.

Đã gửi 30-01-2011 - 08:15

Cho mình xin lời giải bài 5 với

Đây chỉ là làm ngược lại bài IMO 1988( b6) thôi!

p/s: anh Tuấn chơi xấu! Đọc đau cả mắt, lại còn khôg dùng latex!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 30-01-2011 - 08:23

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh