Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 thinhthoithuong

thinhthoithuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:Ăn - chơi - ngủ

Đã gửi 12-09-2013 - 20:33

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$



#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 12-09-2013 - 21:42

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$

 Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .

Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$

Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .

Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .

Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :

                                         $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$

Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :

                                         $x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$

                                        $<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$ 

                                        $<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$

Có các nghiệm                $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$

Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-09-2013 - 21:43

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 13-09-2013 - 12:03

 Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .

Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$

Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .

Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .

Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :

                                         $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$

Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :

                                         $x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$

                                        $<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$ 

                                        $<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$

Có các nghiệm                $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$

Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !  :mellow:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-09-2013 - 12:03

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 mathforlife

mathforlife

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Đã gửi 13-09-2013 - 16:37

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !  :mellow:đ

 

Đê là nguyên dương mà bạn sao thê đc



#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 13-09-2013 - 17:27

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !  :mellow:

cái cần là nghiệm dương cơ , chứ cách của anh thì sao chứng minh được bài toán tổng quát 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-09-2013 - 17:51

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#6 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 13-09-2013 - 20:47

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$

Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$



#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 14-09-2013 - 06:14

Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$

đâu có giải quyết được gì đâu bạn , nó là hai số mà   :( mình chưa hiểu lắm


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#8 AzAZ09

AzAZ09

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Đã gửi 14-09-2013 - 21:07

phương pháp gien 



#9 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1559 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Geometry and Topology

Đã gửi 15-09-2013 - 07:15

Có thể chứng minh bài toán tổng quát là phương trình $\sum x^{2}=y^{2}$ luôn có vô số nghiệm nguyên dương trong đó các số hạng vế trái là tùy ý và không vô hạn .


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh