Chủ đề này có 8 trả lời

[thinhthoithuong]

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$

[bangbang1412]

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$

 Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .

Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$

Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .

Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .

Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :

                                         $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$

Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :

                                         $x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$

                                        $<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$ 

                                        $<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$

Có các nghiệm                $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$

Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-09-2013 - 21:43

[Juliel]

 Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .

Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$

Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :

                                                               $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .

Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .

Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :

                                         $\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$

Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :

                                         $x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$

                                        $<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$ 

                                        $<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$

Có các nghiệm                $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$

Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì ! 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-09-2013 - 12:03

[mathforlife]

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !  đ

 

Đê là nguyên dương mà bạn sao thê đc

[bangbang1412]

Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$)  ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì ! 

cái cần là nghiệm dương cơ , chứ cách của anh thì sao chứng minh được bài toán tổng quát 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-09-2013 - 17:51

[Secrets In Inequalities VP]

Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình: 

$w^2+x^2+y^2=z^2$

Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$

[bangbang1412]

Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$

đâu có giải quyết được gì đâu bạn , nó là hai số mà   mình chưa hiểu lắm

[AzAZ09]

phương pháp gien 

[bangbang1412]

Có thể chứng minh bài toán tổng quát là phương trình $\sum x^{2}=y^{2}$ luôn có vô số nghiệm nguyên dương trong đó các số hạng vế trái là tùy ý và không vô hạn .