Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:
$w^2+x^2+y^2=z^2$
Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:
$w^2+x^2+y^2=z^2$
Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:
$w^2+x^2+y^2=z^2$
Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .
Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$
Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .
Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .
Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :
$\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$
Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :
$x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$
$<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$
$<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$
Có các nghiệm $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$
Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-09-2013 - 21:43
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Bài toán này khá khó , bạn có thể lên $google$ tra bài viết chứng minh định lý lớn $Fermat$ của một bạn ở $VMF$ , sau đây chỉ là một thuật toán để chứng minh phương trình trên có vô số nghiệm mà mình đã nghĩ ra $2$ tháng trước .
Ta viết lại phương trình cho dễ nhìn :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=w^{2}$
Nó tương đương với việc chứng minh mặt cầu :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ có vô số điểm hữu tỷ .
Dễ thấy $A(-1,0,0)$ là một điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình trên , gọi $B(0,t,t)$ là một điểm nào đó với $t$ là một số hữu tỷ bất kỳ .
Lập phương trình đường thẳng $AB$ ta có :
$\frac{x+1}{1}=\frac{y}{t}=\frac{z}{t}$
Hay $t(x+1)=y=z$ , thay vào phương trình mặt cầu ta thu được :
$x^{2}+2t^{2}(x+1)^{2}=1$
$<=>x^{2}+2t^{2}.x^{2}+4.x.t^{2}+2t^{2}-1=0$
$<=>x^{2}(1+2t^{2})+(4t^{2}).x+2t^{2}-1=0$
Có các nghiệm $x=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-4(2t^{2}-1)(2t^{2}+1)}}{2(1+2t^{2})}=\frac{-4t^{2}+\sqrt{16t^{4}-16t^{4}+4}}{2(1+2t^{2})}=\frac{2-4t^{2}}{2(1+2t^{2})}$
Và nghiệm còn lại tương tự , ta đã có biểu thức liên hệ $x,y,z$ nên phương trình luôn có vô số nghiệm .
Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$) ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-09-2013 - 12:03
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$) ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì ! đ
Đê là nguyên dương mà bạn sao thê đc
Giải phương trình mới khó chứ chứng minh phương trình vô số nghiệm thì cần gì phức tạp thế. Cho $x=0$ (hoặc $y=0, z=0$) ta được phương trình $Pythagore$ rồi còn gì !
cái cần là nghiệm dương cơ , chứ cách của anh thì sao chứng minh được bài toán tổng quát
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-09-2013 - 17:51
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Tìm mọi nghiệm nguyên dương của phương trình:
$w^2+x^2+y^2=z^2$
Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.
Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$
Sử dụng bổ đề sau : Nếu $m, n,a, b, c, d$ là các số nguyên dương sao cho $m^2+n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.
Thì tồn tại các số nguyên dương $a_1,b_1,c_1,d_1$ sao cho:
$a^2+b^2=a_1^2+b_1^2, c^2+d^2=c_1^2+d_1^2, m=a_1b_1+c_1d_1, n=a_1d_1-b_1c_1$
đâu có giải quyết được gì đâu bạn , nó là hai số mà mình chưa hiểu lắm
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
phương pháp gien
Có thể chứng minh bài toán tổng quát là phương trình $\sum x^{2}=y^{2}$ luôn có vô số nghiệm nguyên dương trong đó các số hạng vế trái là tùy ý và không vô hạn .
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh