Chủ đề này có 3 trả lời

[JMJ]

Bài 1:CMR với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số A=$2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và B=$2^{2n+1}-2^{n+1}+1$ luôn có đúng 1 số chia hết cho 5.

Bài 2:Cho a,b la các số tự nhiên ko chia kết cho 5. CMR $pa^{4m}+qb^{4m}$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia hết cho 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 13-09-2013 - 12:17

[nguyentrungphuc26041999]

Bài 1:CMR với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số A=$2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và B=$2^{2n+1}-2^{n+1}+1$ luôn có đúng 1 số chia hết cho 5.

Bài 2:Cho a,b la các số tự nhiên ko chia kết cho 5. CMR $pa^{4m}+qb^{4m}$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia hết cho 5

xét tích

$\left ( 2^{2n+1}+1+2^{n+1} \right )\left ( 2^{2n+1}+1-2^{n+1} \right )= \left ( 2^{2n+1}+1 \right )^{2}-\left ( 2^{n+1} \right )^{2}$

$= 2^{4n+2}+2.2^{2n+1}+1-2^{2n+2}$

$= 2^{4n+2}+1= \left ( 2^{2} \right )^{2n+1}+1= 4^{2n+1}+1$

ta có

$4\equiv -1\left ( mod5 \right )$

$\Rightarrow 4^{2n+1}\equiv -1\left ( mod5 \right )$

$\Rightarrow 4^{2n+1}+1\vdots 5$

suy ra 1 trong 2 số có ít nhất 1 số chia hết cho 5

[tranducmanh2308]

-giả sử có thể cả A, B cùng chia hết 5

$\Rightarrow 2^{2n+1}+2^{n+1}+1, 2^{2n+1}-2^{n+1}+1\equiv 0(mod5)$

$\Leftrightarrow 2^{2n}+2^{n},2^{2n}-2^{n}\equiv 2(mod5)$

$\Leftrightarrow 2\times 2^{n}\equiv 0(mod 5)$ (vô lý)

-đặt n=2k($k\in \mathbb{N}$

$\Leftrightarrow A=16^{k}\times 2+4^{k}\times 2+1\vdots 5($k\equiv 0(mod2)$),$

khi $k\equiv 1(mod2)$ thì$B\vdots 5$

tương tự vs n=2k+1

[Zaraki]

Bài 2:Cho a,b la các số tự nhiên ko chia kết cho 5. CMR $pa^{4m}+qb^{4m}$ chia hết cho 5 khi và chỉ khi p+q chia hết cho 5

Lời giải. Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta suy ra $a^4 \equiv 1 \pmod{5}, b^4 \equiv 1 \pmod{5}$. Do đó $p(a^{4m}-1)+q(b^{4m}-1)$ chia hết cho $5$. DO đó $5| pa^{4m}+qb^{4m} \Leftrightarrow 5|p+q$.