Chủ đề này có 1 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho a; b; c dương thỏa mãn:$ab+bc+ca=abc$. Chứng minh:

$\frac{\sqrt{b^{2}+2a^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{a^{2}+2c^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks

[kfcchicken98]

Bài này có thể giải như sau: 
Có $\frac{\sqrt{b^{2}+ 2a^{2}}}{ab}= \frac{\sqrt{b^{2}+ a^{2}+ a^{2}}}{ab}\geq \frac{\sqrt{\left ( b+a +a \right )}^{2}}{\sqrt{3}ab} = \frac{b + 2a}{\sqrt{3}ab} = \frac{1}{\sqrt{3}a} + \frac{1}{\sqrt{3}b} + \frac{1}{\sqrt{3}b}$ ( Sử dụng BDT $b^{2} + a^{2} + a^{2} \geq \frac{\left ( b + a +a \right )^{2}}{3}$
Tương tự , bạn sẽ thu được$\frac{\sqrt{c^{2} +2b^{2}}}{bc} \geq \frac{1}{\sqrt{3}b} +\frac{1}{\sqrt{3}c} + \frac{1}{\sqrt{3}c}$$\frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ac} \geq \frac{1}{\sqrt{3}c} + \frac{1}{\sqrt{3}a} + \frac{1}{\sqrt{3}a}$
Do ab+bc+ca = abc, nên $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$
Công 2 vế của bất đẳng thức, có vế trái sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right ).3$ = $\frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ (đpcm)
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 13-09-2013 - 01:46