Chủ đề này có 1 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=2R$ và $M$ di chuyển trên đó. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc trong với đường tròn tâm $O$ tại $M$ và tiếp xúc với $AB$ tại $H$. Vẽ $OQ$ là bán kính vuông góc với $AB$. Chứng minh: $MH$ luôn đi qua một điểm cố định.

[VodichIMO]

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=2R$ và $M$ di chuyển trên đó. Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc trong với đường tròn tâm $O$ tại $M$ và tiếp xúc với $AB$ tại $H$. Vẽ $OQ$ là bán kính vuông góc với $AB$. Chứng minh: $MH$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Kéo dài $MH$ cắt $QO$ tại $X$. Hạ $MG$ vuông góc $BC$ ($G$ thuộc $BC$). Gọi bán kính của $(O)$ là $R$, bán kính của $(I)$ là $r$.

Do $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc tại $M$ nên $O,M,I$ thẳng hàng.

Ta có: $IH//MG$ $\Rightarrow$ $\frac{OI}{OM}=\frac{IH}{MG}$

$\Rightarrow$ $\frac{R-r}{R}=\frac{r}{MG}$ $\Rightarrow$ $MG=\frac{Rr}{R-r}$

Mặt khác: $OX//MG$ $\Rightarrow$ $\frac{OX}{MG}=\frac{OH}{HG}=\frac{OI}{IM}=\frac{R-r}{r}$

$\Rightarrow$ $\frac{OX}{\frac{Rr}{R-r}}=\frac{R-r}{r}$

$\Rightarrow$ $OX=R$ $\Rightarrow$ $X$ là điểm cố định

$\Rightarrow$ $MH$ đi qua điểm cố định $X$.