Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuanewton]

Cho a,b,c>0 chứng minh

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+c^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$

[Messi10597]

Ta có: $a-b+b-c+c-a=0$

           $\Leftrightarrow A=\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}=0$

   Đặt VT=A

           $\Leftrightarrow 2A= \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

Ta có: $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{(a+b)(a^{2}+ab+b^{2})-2ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}=a+b-\frac{2ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq a+b-\frac{2ab(a+b)}{3ab}=\frac{1}{3}(a+b)$

Tương tự: $\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}\geq \frac{1}{3}(b+c)$

                 $\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{1}{3}(c+a)$

Cộng 3 BĐT lại ta đc đpcm

[leduylinh1998]

Cho a,b,c>0 chứng minh

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+c^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$

Chỗ này là c hay b vậy bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 15-09-2013 - 00:45

[leduylinh1998]

Nếu là b thì ta có:

CM BĐT phụ: $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$    (biến đổi tương đương)

Xét hiệu: $3a^{3}-(a^{2}+ab+b^{2})(2a-b)$

biến đổi ta được: $a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\geq 0$    ( chứng minh trên)

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$ 

CM tương tự ròi cộng ba BĐT lại ta được điều phải cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leduylinh1998: 15-09-2013 - 01:17

[Lugiahooh]

Cho a,b,c>0 chứng minh

$\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+c^{2}}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$

Bất đẳng thức nói trên sai trong trường hợp $a=1,1; b=1; c=0,9$