Chủ đề này có 2 trả lời

[caochinduoi112]

$\lim_{n \to +\infty }x_{n}$, $n\geq 1$

 

 với $x_{1}=\sqrt{2}$ và $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$

                                                 

[Mrnhan]

$\lim_{n \to +\infty }x_{n}$, $n\geq 1$

 

 với $x_{1}=\sqrt{2}$ và $x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}$

Bây giờ ta cần chứng dãy hội tụ và có giớ hạn:

Ta c/m $1<x_{n}<2$ bằng quy nạp.

Ta thấy $1<x_{1}=\sqrt{2}<2$ đúng

Giả sử $1<x_{k}<2$ ta cần chứng minh $1<x_{k+1}<2$

Thật vậy $x_{k+1}=\sqrt{x_{k}+2}\to 1<x_{k+1}<2$

Vậy $1<x_{n}<2$ được chứng minh.

Ta lại thấy $x_{n+1}-x_{n}=\frac{(2-x_n)(1+x_n)}{\sqrt{2+x_n}+x_n}>0\to x_n$ tăng, và bị chặn trên bởi $x_n<2$

Vậy $(x_n)$ hội tụ và có giớ hạn, giả sử $\lim_{n\to \infty}=x_n=a\to a=\sqrt{a+2}\to a=2$

Vậy $\lim x_n=2$

P/s: Bạn học kstn phải không? Cái đề này thầy phát lâu rồi!

[letrongvan]

Tổng quát $(u_{n})$ với $a>0, u_{1}=\sqrt{a},u_{n}=\sqrt{a+u_{n-1}}$ ta có giới hạn bằng $\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$