Chủ đề này có 9 trả lời

[bachhammer]

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Bài 2: Tìm tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn phần tử, biết rằng tổng các số hạng đó bằng 11, tổng các bình phương của các số hạng đó bằng 341 và tổng các lập phương của các số đó bằng 3641.

Bài 3: Tìn tất cả các hàm f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y \in \mathbb{Z}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Bài 5: Tìm tấ cả các số nguyên dương x, y sao cho $z=\frac{x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}$ là một số nguyên không âm.

..........................

Dĩ nhiên là không xài máy tính...., đề này chưa cho tổ hợp thôi....(buồn quá!!!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 14-09-2013 - 21:06

[Primary]

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Xét 2 hàm số: $f(t)=x^3+3x+\ln(x^2-x+1)$

                       $g(u)=u+3$

Đạo hàm: $f'(t)=3t^2+3+\frac{2t-1}{t^2-t+1}=3t^2+\frac{3t^2-t+2}{t^2-t+1}>0$

                 $g'(u)=1>0$

$\Rightarrow$ hàm $f(t)$ và $g(u)$ đồng biến trên R

Giả sử $x\geq y\geq z$

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}f(x)=g(y) & \\ f(y)=g(z) & \\ f(z)=g(x) & \end{matrix}\right.$

$y\geq z\Rightarrow f(y)\geq f(z)\Leftrightarrow g(z)\geq g(x) \Leftrightarrow z\geq x$

$\Rightarrow x=y=z$

Thay vào pt (1): $f(x)=x^3+2x+\ln(x^2-x+1)-3=0$

$f'(x)=3x^2+2+\frac{2x-1}{x^2-x+1}=3x^2+\frac{2x^2+1}{x^2-x+1}>0,\forall x$

Mà $f(1)=0$ nên $x=y=z=1$ là nghiệm duy nhất của hệ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 14-09-2013 - 22:08

[T M]

Chuyên Phan Ngọc Hiển chuyên cho kiểu cấp số cộng, cấp số nhân thì phải

[ducthinh26032011]

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Bài 2: Tìm tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn phần tử, biết rằng tổng các số hạng đó bằng 11, tổng các bình phương của các số hạng đó bằng 341 và tổng các lập phương của các số đó bằng 3641.

Bài 3: Tìn tất cả các hàm f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y \in \mathbb{Z}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Bài 5: Tìm tấ cả các số nguyên dương x, y sao cho $z=\frac{x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}$ là một số nguyên không âm.

..........................

Dĩ nhiên là không xài máy tính...., đề này chưa cho tổ hợp thôi....(buồn quá!!!)

 

Đề Phương trình hàm cho sao ấy nhỉ @@

$x=0;f(f(y))=f(0)-y$ Dễ dàng suy ra $f$ là đơn ánh

$y=0;f(x+f(0))=f(x)\Rightarrow x+f(0)=x\Leftrightarrow f(0)=0$

Suy ra:$f(f(x))=-x$

Thay $x=f(x);f(-x)=-f(x)$

$y=f(y)$ vào pt đầu:$f(x-y)=f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

Vậy:$f(x+f(y))=x+f(y)=f(x)-y$

Đến đây,ta lấy $x=y\neq 0$ để thấy được sự vô lý

(!!!)

[tranquocluat_ht]

Đây là đề thi chính thức:

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x+ln(x^{2}-x+1)=y-x^{3}+3\\3y+ln(y^{2}-y+1)=z-y^{3}+3 \\3z+ln(z^{2}-z+1)=x-z^{3}+3 \end{matrix}\right.$.

Bài 2: Tìm tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn phần tử, biết rằng tổng các số hạng đó bằng 11, tổng các bình phương của các số hạng đó bằng 341 và tổng các lập phương của các số đó bằng 3641.

Bài 3: Tìn tất cả các hàm f: $\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa $f(x+f(y))=f(x)-y,\forall x,y \in \mathbb{Z}$.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Bài 5: Tìm tấ cả các số nguyên dương x, y sao cho $z=\frac{x^{3}+y^{3}-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}}$ là một số nguyên không âm.

..........................

Dĩ nhiên là không xài máy tính...., đề này chưa cho tổ hợp thôi....(buồn quá!!!)

Câu hình có vẻ cho thừa điểm $P$ nhỉ?

[bachhammer]

Đề Phương trình hàm cho sao ấy nhỉ @@

$x=0;f(f(y))=f(0)-y$ Dễ dàng suy ra $f$ là đơn ánh

$y=0;f(x+f(0))=f(x)\Rightarrow x+f(0)=x\Leftrightarrow f(0)=0$

Suy ra:$f(f(x))=-x$

Thay $x=f(x);f(-x)=-f(x)$

$y=f(y)$ vào pt đầu:$f(x-y)=f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

Vậy:$f(x+f(y))=x+f(y)=f(x)-y$

Đến đây,ta lấy $x=y\neq 0$ để thấy được sự vô lý

(!!!)

Dĩ nhiên rồi, vì đáp án là không tồn tại hàm nào thỏa mãn mà....

 

 

Câu hình có vẻ cho thừa điểm $P$ nhỉ?

Đúng rồi đó thầy, đây là gợi ý cho bài này (sợ bí nên tác giả đề thêm cái này)......

[namcpnh]

Đề Phương trình hàm cho sao ấy nhỉ @@

$x=0;f(f(y))=f(0)-y$ Dễ dàng suy ra $f$ là đơn ánh

$y=0;f(x+f(0))=f(x)\Rightarrow x+f(0)=x\Leftrightarrow f(0)=0$

Suy ra:$f(f(x))=-x$

Thay $x=f(x);f(-x)=-f(x)$

$y=f(y)$ vào pt đầu:$f(x-y)=f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

Vậy:$f(x+f(y))=x+f(y)=f(x)-y$

Đến đây,ta lấy $x=y\neq 0$ để thấy được sự vô lý

(!!!)

 

Ngoài ra đến đây em có thể CM $f(x)=xf(1)$ với $x$ nguyên ( 1 phần nhỏ của PTH Cauchy) .

 

Đề cho Tổ hợp có lẻ sẽ đỡ hơn, bài cấp số cộng , nhân khá hay, nhưng quá tốn thời gian.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-09-2013 - 11:55

[bachhammer]

Ngoài ra đến đây em có thể CM $f(x)=xf(0)$ với $x$ nguyên ( 1 phần nhỏ của PTH Cauchy) .

 

Đề cho Tổ hợp có lẻ sẽ đỡ hơn, bài cấp số cộng , nhân khá hay, nhưng quá tốn thời gian.

f(x) = f(1)x chứ a Nam

[namcpnh]

f(x) = f(1)x chứ a Nam

 

Nhầm, đã sửa như trên.

[tranquocluat_ht]

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi H là chân đường cao kẻ từ A và M là trung điểm của AH; D là điểm tiếp xúc của BC và (I). Đường thẳng DM cắt (I) tại N và cắt trung trực của BC tại P. Chứng minh rằng $\widehat{BNP}=\widehat{CNP}$.

Cần chứng minh phân giác nên cần tìm chùm điều hòa và tìm 2 tia vuông góc. Cụ thể:

+) Ký hiệu các điểm như hình vẽ.

+) Dễ thấy $EI \bot AD$.

+) Từ đó $XI \bot MD$.

+) Suy ra $NE \bot ND$.

+) Kết hợp với $N(EDCB)=-1$ ta có đpcm.