Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $3\leq a^{4}+b^{4}+ab\leq \frac{265}{4} $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Kudo Shinichi

Kudo Shinichi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Cho $a, b $ là các số thực thỏa mãn: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq 6$

Chứng minh: $3\leq a^{4}+b^{4}+ab\leq \frac{265}{4} $

 


James Moriarty


#2
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Min: $3\leq a^{2}+b^{2}+ab\leq a^{2}+b^{2}+\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\Rightarrow 6\leq 3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow 2\leq a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a^{4}+b^{4}+ab\geq a^{2}+b^{2}+ab$


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

Max:$a^{4}+b^{4}+ab=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}+ab=[(a+b)^{2}-2ab]^{2}-2a^{2}b^{2}+ab$

Từ giả thiết ta có: $(a+b)^{2}-ab\leq 6$.

đặt $(a+b)=x,ab=y$.Nên ta có $x^{2}-y\leq 6$

Cần chứng minh $(x^{2}-2y)-2y^{2}+y\leq (6-y)^{2}-2y^{2}+y$.đến đây thì việc chứng minh hoàn tất


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh