Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\geq3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\geq3$$

 


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#2
nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ. :luoi:  :luoi:


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\geq3$$

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{b^2(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tương tự ta cũng có :

$\frac{b+1}{c^2+1}\geq (b+1)-\frac{c(b+1)}{2}$

và $\frac{c+1}{a^2+1}\geq (c+1)-\frac{a(c+1)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq \sum (a+1)-\frac{\sum a+\sum ab}{2}=6-\frac{3+\sum ab}{2}\geq 6-\frac{3+3}{2}=3$ ( do $\sum ab\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ )



#4
Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ. :luoi:  :luoi:

 

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{b^2(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tương tự ta cũng có :

$\frac{b+1}{c^2+1}\geq (b+1)-\frac{c(b+1)}{2}$

và $\frac{c+1}{a^2+1}\geq (c+1)-\frac{a(c+1)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq \sum (a+1)-\frac{\sum a+\sum ab}{2}=6-\frac{3+\sum ab}{2}\geq 6-\frac{3+3}{2}=3$ ( do $\sum ab\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ )

Cho em hỏi sao mình biết mà tách thành $(a+1)$ với cái biểu thức sau ạ rồi $Cosi$, sao không phải tách thành $a-1;\,\a-3;\,a+5,...$ ạ, có thể cho em hỏi mấu chốt ở đâu không ạ, ý tưởng thế nào ạ?


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#5
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cho em hỏi sao mình biết mà tách thành $(a+1)$ với cái biểu thức sau ạ rồi $Cosi$, sao không phải tách thành $a-1;\,\a-3;\,a+5,...$ ạ, có thể cho em hỏi mấu chốt ở đâu không ạ, ý tưởng thế nào ạ?

bình thường tách xuống người ta hay tách ra cái giống ở tử . ( ảnh hưởng của st bdt )


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh