Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\geq3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-09-2013 - 11:16

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\geq3$$

 


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#2 nguyencuong123

nguyencuong123

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 587 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
  • Sở thích:Được người khác chia sẻ thêm nhiều kiến thức về Toán học.

Đã gửi 15-09-2013 - 11:20

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ. :luoi:  :luoi:


    :icon12:  :icon12:  :icon12:   Bình minh tắt nắng trời vương vấn :icon12:  :icon12:  :icon12:       

      :icon12: Một cõi chơi vơi, ta với ta  :icon12:       

:nav: My Facebook  :nav:  

 


#3 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-09-2013 - 11:26

Cho $a,\,b,\,c>0$ thỏa $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\geq3$$

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{b^2(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tương tự ta cũng có :

$\frac{b+1}{c^2+1}\geq (b+1)-\frac{c(b+1)}{2}$

và $\frac{c+1}{a^2+1}\geq (c+1)-\frac{a(c+1)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq \sum (a+1)-\frac{\sum a+\sum ab}{2}=6-\frac{3+\sum ab}{2}\geq 6-\frac{3+3}{2}=3$ ( do $\sum ab\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ )



#4 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-09-2013 - 12:06

$\sum \frac{a+1}{b^{2}+1}=\sum [(a+1)-\frac{(a+1)b^{2}}{b^{2}+1}]\geq \sum (a+1)-\frac{(a+1)b}{2}$.đến đây thì chắc bạn nghĩ ra rồi nhỉ. :luoi:  :luoi:

 

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a+1}{b^2+1}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq (a+1)-\frac{b^2(a+1)}{2b}=(a+1)-\frac{b(a+1)}{2}$

Tương tự ta cũng có :

$\frac{b+1}{c^2+1}\geq (b+1)-\frac{c(b+1)}{2}$

và $\frac{c+1}{a^2+1}\geq (c+1)-\frac{a(c+1)}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^2+1}\geq \sum (a+1)-\frac{\sum a+\sum ab}{2}=6-\frac{3+\sum ab}{2}\geq 6-\frac{3+3}{2}=3$ ( do $\sum ab\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}$ )

Cho em hỏi sao mình biết mà tách thành $(a+1)$ với cái biểu thức sau ạ rồi $Cosi$, sao không phải tách thành $a-1;\,\a-3;\,a+5,...$ ạ, có thể cho em hỏi mấu chốt ở đâu không ạ, ý tưởng thế nào ạ?


KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#5 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1532 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 15-09-2013 - 16:08

Cho em hỏi sao mình biết mà tách thành $(a+1)$ với cái biểu thức sau ạ rồi $Cosi$, sao không phải tách thành $a-1;\,\a-3;\,a+5,...$ ạ, có thể cho em hỏi mấu chốt ở đâu không ạ, ý tưởng thế nào ạ?

bình thường tách xuống người ta hay tách ra cái giống ở tử . ( ảnh hưởng của st bdt )


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh