Chủ đề này có 8 trả lời

[Alexman113]

Cho $a,\,b,\,c,\,d>0$ thỏa $a+b+c+d=4.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\geq2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 15-09-2013 - 12:07

[Near Ryuzaki]

Cho $a,\,b,\,c,\,d>0$ thỏa $a+b+c+d=1.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}\geq2$$

Đáng nhẽ đề phải là a+b+c+d=4 mới đúng !

Mình làm theo đề là a+b+c+d=4 . Tiếp tục sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}$

Tương tự với 3 cái còn lại :

Ta được :

$\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \sum a-\frac{1}{4}(\sum ab+\sum abc)$

mà $\sum abc\leq \frac{1}{16}(\sum a)^2=4$ và $\sum ab\leq \frac{1}{4}(\sum a)^2=4$

=> $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq 4-2=2$

[Hoang Tung 126]

Ta có:$\sum \frac{a}{1+b^2c}= \sum \frac{a.(1+b^2c)-ab^2c}{1+b^2c}= \sum a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\frac{ab^2c}{2.\sqrt{b^2c}}=\sum a-\frac{ab.\sqrt{c}}{2}$ đến đây dùng bđt cosi là ra

[Alexman113]

Đáng nhẽ đề phải là a+b+c+d=4 mới đúng !

Mình làm theo đề là a+b+c+d=4 . Tiếp tục sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu :

$\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}$

Tương tự với 3 cái còn lại :

Ta được :

$\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq \sum a-\frac{1}{4}(\sum ab+\sum abc)$

mà $\sum abc\leq \frac{1}{16}(\sum a)^2=4$ và $\sum ab\leq \frac{1}{4}(\sum a)^2=4$

=> $\sum \frac{a}{1+b^2c}\geq 4-2=2$

Cho em hỏi sao biết dạng nào sẽ phải sử dụng Cosi ngược dấu vậy ạ, chỉ em giúp với, em cảm ơn.

[nguyencuong123]

Cho em hỏi sao biết dạng nào sẽ phải sử dụng Cosi ngược dấu vậy ạ, chỉ em giúp với, em cảm ơn.

đó là 1 quá trình suy nghĩ đó em.

[Alexman113]

đó là 1 quá trình suy nghĩ đó em.

Nhưng em thật sự không biết nên mới hỏi ạ @@

[deathavailable]

Nhưng em thật sự không biết nên mới hỏi ạ @@

Làm nhiều và luyện tập các dạng thì sẽ quen tay thôi bạn!!

[Near Ryuzaki]

Cho em hỏi sao biết dạng nào sẽ phải sử dụng Cosi ngược dấu vậy ạ, chỉ em giúp với, em cảm ơn.

bởi vì bạn để ý mẫu số đi , có phải mẫu là $1+b^2c\geq 2\sqrt{b^2c}$ đúng ko , thì khi đó $\frac{a}{1+b^2c}\leq \frac{a}{2\sqrt{b^2c}}$ sẽ ngược dấu với bài toán , nên bạn sẽ tìm cách để đúng với dấu của bài , do đó ta sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu

[Near Ryuzaki]

Cho em hỏi sao biết dạng nào sẽ phải sử dụng Cosi ngược dấu vậy ạ, chỉ em giúp với, em cảm ơn.

cái đó phải suy nghĩ thôi bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 15-09-2013 - 19:05