Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangdaikpro]

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm bên trong tam giác, gọi $S_{a},S_{b},S_{c}$ ttheo thứ tự là diện tích của các tam giác sau : $S_{MBC}, S_{MCA}, S_{MAB}$
1, CMR : $S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
2, Nhận xét khi M trùng với điểm I (tâm đường tròn nội tiếp) và M trùng với điểm G (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
3, Nhận xét : Khi M nằm ngoài tam giác thì kết quả như thế nào ?

 

[thuan192]

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm bên trong tam giác, gọi $S_{a},S_{b},S_{c}$ ttheo thứ tự là diện tích của các tam giác sau : $S_{MBC}, S_{MCA}, S_{MAB}$
1, CMR : $S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
2, Nhận xét khi M trùng với điểm I (tâm đường tròn nội tiếp) và M trùng với điểm G (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
3, Nhận xét : Khi M nằm ngoài tam giác thì kết quả như thế nào ?

                        Gọi D là giao điểm của AM và BC

                                    Trong tam giác MBC ta có     

                                                           $\overrightarrow{MD}=\frac{DC}{BC}\overrightarrow{MB}+\frac{DB}{BC}\overrightarrow{MC}$

                            Mà   $\frac{DC}{DB}=\frac{S_{MDC}}{S_{MDB}}=\frac{S_{MAC}}{S_{MAB}}=\frac{S_{b}}{S_{c}}$

                              Ta có    $\frac{DC}{BC}=\frac{S_{b}}{S_{b}+S_{c}}$   và  $\frac{DB}{BC}=\frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}$

                                   suy ra   $\overrightarrow{MD}=\frac{S_{b}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MB}+\frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MC}$

                                    Mặt khác         $\frac{MD}{MA}=\frac{S_{MDB}}{S_{MAB}}=\frac{S_{MDC}}{S_{MAC}}=\frac{S_{a}}{S_{b}+S_{c}}$               và           $\overrightarrow{MD}  cùng hướng   \overrightarrow{MA}$     ta có

                                                                              $\overrightarrow{MD}=\frac{-S_{a}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MA}$

                    suy ra đpcm

               NHẬN XÉT:

 1.  Cho M trùng với trọng tâm G hoặc tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC ta nhận được các kết quả quen thuộc

                       $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

                       $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

2.   Nếu Mnawnf ngoài tam giác ABC ta có các kết quả tương tự:

             $-S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ (khi M thuộc góc BAC và góc đối đỉnh của nó)

                $S_{a}\overrightarrow{MA}-S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$  (khi M thuộc góc CBA và góc đối đỉnh của nó)

              $S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}-S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$  (khi Mthuoocj góc ACB và góc đối đỉnh của nó)

[hoangdaikpro]

Untitled1.png

                        Gọi D là giao điểm của AM và BC

                                    Trong tam giác MBC ta có     

                                                           $\overrightarrow{MD}=\frac{DC}{BC}\overrightarrow{MB}+\frac{DB}{BC}\overrightarrow{MC}$

                            Mà   $\frac{DC}{DB}=\frac{S_{MDC}}{S_{MDB}}=\frac{S_{MAC}}{S_{MAB}}=\frac{S_{b}}{S_{c}}$

                              Ta có    $\frac{DC}{BC}=\frac{S_{b}}{S_{b}+S_{c}}$   và  $\frac{DB}{BC}=\frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}$

                                   suy ra   $\overrightarrow{MD}=\frac{S_{b}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MB}+\frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MC}$

                                    Mặt khác         $\frac{MD}{MA}=\frac{S_{MDB}}{S_{MAB}}=\frac{S_{MDC}}{S_{MAC}}=\frac{S_{a}}{S_{b}+S_{c}}$               và           $\overrightarrow{MD}  cùng hướng   \overrightarrow{MA}$     ta có

                                                                              $\overrightarrow{MD}=\frac{-S_{a}}{S_{b}+S_{c}}\overrightarrow{MA}$

                    suy ra đpcm

               NHẬN XÉT:

 1.  Cho M trùng với trọng tâm G hoặc tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC ta nhận được các kết quả quen thuộc

                       $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

                       $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

2.   Nếu Mnawnf ngoài tam giác ABC ta có các kết quả tương tự:

             $-S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ (khi M thuộc góc BAC và góc đối đỉnh của nó)

                $S_{a}\overrightarrow{MA}-S_{b}\overrightarrow{MB}+S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$  (khi M thuộc góc CBA và góc đối đỉnh của nó)

              $S_{a}\overrightarrow{MA}+S_{b}\overrightarrow{MB}-S_{c}\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$  (khi Mthuoocj góc ACB và góc đối đỉnh của nó)

Thank !