Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangdaikpro]

Cho tam giác ABC và một điểm M nằm bên trong tam giác, gọi $S_{a},S_{b},S_{c}$ ttheo thứ tự là diện tích của các tam giác sau : $S_{MBC}, S_{MCA}, S_{MAB}$
1, CMR : $S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
2, Nhận xét khi M trùng với điểm I (tâm đường tròn nội tiếp) và M trùng với điểm G (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
3, Nhận xét : Khi M nằm ngoài tam giác thì kết quả như thế nào ?

 

[NLBean]

Bài 1:Đặt $S_{MBC} = S_{a} ; S_{MAC} = S_{b} ; S_{MAB} = S_{c}$

Gọi $A'$ là giao điểm của các đường thẳng AM , BC. Trong tam giác MBC , ta có:

$\vec{MA'} = \frac{A'C}{BC}. \vec{MB} + \frac{A'B}{BC}.\vec{MC}$ 

Mà :

$\frac{A'C}{A'B} = \frac{S_{MA'C}}{S_{MA'B}} = \frac{S_{b}}{S_{c}}$

$\Rightarrow \frac{A'C}{BC} = \frac{S_{b}}{S_{b} + S_{c}} ; \frac{A'B}{BC} = \frac{S_{c}}{S_{b} + S_{c}}$

Vậy : $\vec{MA'} = \frac{S_{b}}{S_{b} + S_{c}}.\vec{MB} + \frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}.\vec{MC}$ (1)

Ta lại có : $\frac{MA}{MA'} = \frac{S_{MA'B}}{S_{MAB}} = \frac{S_{MA'C}}{S_{MAC}} = \frac{S_{MA'B} + S_{MA'C}}{S_{MAB} + S_{MAC}} = \frac{S_{a}}{S_{b} + S_{c}}. Mà  \vec{MA'}  ngược  hướng \vec{MA}$

$=> \vec{MA'} = \frac{-S_{a}}{S_{b}+S_{c}}.\vec{MA}$(2)

Từ (1)(2) => đpcm

2.Khi $M$ trùng $G$ thì ta có $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ ; $M$ trùng $I$ thì $a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$

3.

Khi $M$ nằm ngoài tam giác ABC :

$S_{a}\vec{MA} + S_{b}\vec{MB} - S_{c}\vec{MC} = \vec{0}$ ( $M$ thuộc góc $ACB$)

Tương tự cho hai trường hợp còn lại

[Phuong Thu Quoc]

 

2.Khi $M$ trùng $G$ thì ta có $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ ; $M$ trùng $I$ thì $a\vec{IA} + b\vec{IB} + c\vec{IC} = \vec{0}$

3.

Khi $M$ nằm ngoài tam giác ABC :

$S_{a}\vec{MA} + S_{b}\vec{MB} - S_{c}\vec{MC} = \vec{0}$ ( $M$ thuộc góc $ACB$)

Tương tự cho hai trường hợp còn lại

 

Khi $M$ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì đây trở thành định lí con nhím đối với bộ 3 điểm

Chỗ mực đỏ: $M$ thuộc góc $ACB$ và góc đối đỉnh của nó

Tương tự cho các trường hợp còn lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 18-09-2013 - 19:34