Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Chọn đội tuyển HSG Chuyên Bắc Quảng Nam 2013-2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 16-09-2013 - 01:07

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3log_{2}(x+4y+6)= &2log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 
Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$
 
Bài 4:
a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:
 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
b) Giải pt nghiệm nguyên:
$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$
 
Bài 5: Cho dãy $(a_{n})$ biết: $a_{0}=2,a_{1}=2013, a_{n}=2013a_{n-1}-a_{n-2}$
Chứng minh với mọi n luôn tồn tại số tự nhiên m sao cho: $a_{n}.a_{n-2}+4=2013^{2}+m^{2}$
 
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$
---Hết---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 16-09-2013 - 01:10

-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#2 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 16-09-2013 - 13:11



Bài 4:

b) Giải pt nghiệm nguyên:
$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1) \qquad (1)$

 

Lời giải. Phương trình tương đương với $$(1) \Leftrightarrow (x+y)[(x+y)^2-2xy]= 8[(x+y)^2-xy+1]$$

Đặt $x+y=a,xy=b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì phương trình trở thành $a(a^2-2b)=8(a^2-b+1) \Leftrightarrow b(8-2a)=8(a^2+1)-a^3 \qquad (2)$.

Nếu $a=4$ thì $(1) \Leftrightarrow 0b=72$, mâu thuẫn.

Nếu $a \ne 4$ thì $(1) \Rightarrow b= \frac{8a^2+8-a^3}{8-2a}$. Ta có $$b= \frac{4(a^2-16)+72 -a^2(a-4)}{2(4-a)}= -2(a+4)+ \frac{a^2}{2}+ \frac{36}{4-a}$$

Vì $b \in \mathbb{Z}$ nên ta dễ dàng suy ra $2|a$. Do đó $\frac{a^2}{2} \in \mathbb{N}$. Như vậy, để $b \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{36}{4-a} \in \mathbb{Z}$. Đến đây xét trường hợp. (dài kinh  :( ).


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#3 mystery266

mystery266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Viet Nam

Đã gửi 16-09-2013 - 14:57

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

 

lượng giác hoá

 

đặt x=sin t

 

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\left (\frac{sin t+ cost}{\sqrt{2}} \right )^2}=cos2t$

 

$PT\Leftrightarrow\begin{vmatrix} cos(t-\frac{\pi}{4}) \end{vmatrix}=cos2t$

 

Phương trình lượng giác cơ bản



#4 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 16-09-2013 - 16:32

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

 

Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$
 
 

Chém bài dễ nhất  :luoi:  :luoi: 

$f(x)+x.f(1-x)=x^2(*)$

 

Thay x bởi 1-x ta được 

$f(1-x)+(1-x).f(x)$$=(1-x)^2$$\Rightarrow x.f(1-x)+x(1-x).f(x)=x.(1-x)^2(**)$

Trừ theo vế (**) cho (*) ta được :

$f(x).(x-x^2-1)=x(1-x)^2-x^2=x^3-3x^2+x\Rightarrow f(x)=\frac{x^3-3x^2+x}{x-x^2-1}$

 

Thử lại thấy thỏa mãn  :luoi: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 16-09-2013 - 16:41

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#5 ongngua97

ongngua97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 311 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:volleyball.

Đã gửi 16-09-2013 - 20:31

 

 
Bài 4:
a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:
 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
 

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^{2}}}\leq 1$

 

$Đặt \frac{bc}{a^{2}}=x; \frac{ca}{b^{2}}=y; \frac{ab}{c^{2}}=z\Rightarrow  xyz=1$

 

Cần cm $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1\Leftrightarrow xy+yz+xz\geq 3$ (luôn đúng)

 

Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongngua97: 17-09-2013 - 21:29

ONG NGỰA 97. :wub: 


#6 Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam Tiền Giang

Đã gửi 16-09-2013 - 20:59

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3\log_{2}(x+4y+6)= &2\log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$
 
 
$(1)\Leftrightarrow \frac{e^{4y^2+1}}{e^{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{4y^2+1}$  $(*)$
 

Xét hàm số: $f(t)=t.e^t, t>0$  có $f'(t)=e^t>0,\forall t>0$

 

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$

 

Do vậy $(*)\Leftrightarrow x=y$

 

Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được : $3\log_2(5x+6)-2\log_2(3x+2)-1=0$

 

Đến đây là đươc rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 16-09-2013 - 21:00

Nothing won't change 

 

$\lim_{n\rightarrow \infty }\ln[h(t)]=117771$


#7 IloveMaths

IloveMaths

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:quảng bình

Đã gửi 16-09-2013 - 22:37

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 4:
a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:
 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
 
 
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$
---Hết---

 

:luoi: chém thêm mấy bài nữa  :luoi:

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

:luoi: bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K :luoi: 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IloveMaths: 17-09-2013 - 11:59

Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chun cần

#8 PT42

PT42

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh, K48A1T

Đã gửi 17-09-2013 - 17:12

Bài 5 Đặt 2013 = A ta có $\left\{\begin{matrix} a_{0} = 2\\a_{1} = A \\a_{n} = Aa_{n - 1} - a_{n - 2} \end{matrix}\right.$

Phương trình đặc trưng : $x^{2} - Ax + 1 = 0$

Vì $A^{2} - 4 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm $x_{1} = \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$, $x_{2} = \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2}$ và $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = A\\x_{1}x_{2} = 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $a_{n} = \alpha x_{1}^{n} + \beta x_{2}^{n}$ với $\alpha , \beta$ là nghiệm của hệ 

$\left\{\begin{matrix} a_{1} = \alpha . \frac{A + \sqrt{A^{2} - 4}}{2} + \beta . \frac{A - \sqrt{A^{2} - 4}}{2} = A\\ a_{0} = \alpha + \beta = 2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \alpha = \beta = 1$

$\Rightarrow$ Công thức tổng quát của dãy số là $a_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$

$\Rightarrow a_{n}.a_{n - 2} + 4 - 2013^{2}$

= $(x_{1}^{n} + x_{2}^{n})(x_{1}^{n - 2} + x_{2}^{n - 2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + x_{1}^{n - 2}x_{2}^{n - 2}.(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + (x_{1}x_{2})^{n - 2}. ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 1^{n - 2}. (A^{2} - 2.1) + 4 - A^{2}$

= $x_{1}^{2n - 2} + x_{2}^{2n - 2} + 2$

= $(x_{1}^{n - 1} + x_{2}^{n - 1})^{2}$

= $a_{n - 1}^{2}$ 

 

Ta có $a_{0} = 2, a_{1} = 2013, a_{n} = 2013a_{n - 1} - a_{n - 2}$ nên dùng quy nạp chứng minh được $a_{n} \epsilon \mathbb{Z}\forall n$

Đặt m = $\begin{vmatrix} a_{n - 1} \end{vmatrix}$ ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 17-09-2013 - 17:15

Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)

 

Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)


#9 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 17-09-2013 - 23:33

:luoi: chém thêm mấy bài nữa  :luoi:

Bài 1:

Dễ thấy y đồng biến khi và chỉ khi -y nghịch biến 

Do đó đặt $-y=f(x)=x^3-3x^2-mx+2$

Ta cần tim m để f(x) nghich biến trong khoảng (0,2).Do đó:

$f'(x)=3x^2-6x-m\leq 0\forall x\epsilon (0,2)$$\Leftrightarrow f(0)\leq 0;f(2)\leq 0\Leftrightarrow m\geq 0$

Vậy với $m\geq 0$ thì hàm số đồng biến với mọi x thuộc khoảng (0,2)

Bài 4:

$Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{bc}{a^2}}\leq 1$

Đặt $\frac{a}{b}=x;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z\Rightarrow Q.E.D\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2+\frac{z}{x}}=\sum \frac{x}{2x+z}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2x}{2x+z}\leq 2\Leftrightarrow \sum \frac{z}{2x+z}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{z^2}{2xz+z^2}\geq 1$  

Bài 6:

Không mất tính tổng quát , giải sử $AC\geq AB$

Kẻ NX,NY lần lượt vuôn góc vơi AB,AC

Do KL song song vơi XN và LM song song vơi NY nên $S_{\Delta AXL}=S_{\Delta AKN};S_{\Delta ANM}=S_{\Delta ALY}$$\Rightarrow S_{ AKNM}=S_{\Delta AXL}+S_{\Delta ALY}=LK.AX(LK=LM;AX=AY)$

Ta có:

$AB+AC=AX-XB+YC+AY=2AX(XB=YC;XA=AY)$

Do đó $LK.AX=LK(\frac{AB+AC}{2})=S_{\Delta ABC}\Rightarrow Q.E.D$

:luoi: bài dãy chưa chém được 

cuoi cùng đã xong, dễ thấy $m=a_{n-1}$

Chứng minh quy nạp là O.K :luoi: 

 

 

 

@ Ilovemath: đề này mình bỏ câu dãy.... Bài hệ thì có trong đề đề nghị Olympic 30-4 của Quốc Học Huế 2007 rồi


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-


#10 hieuvipntp

hieuvipntp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 106 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:internet,toán

Đã gửi 01-10-2013 - 18:33

 

Trường THPT Chuyên Bắc Quảng Nam

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian: 180 phút

Ngày thi: 13-09-2013

-------------------

 

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=-x^{3}+3x^{2}+mx-2$ đồng biến trong khoảng (0,2)

 

Bài 2:

a) Giải phương trình: $\sqrt{\frac{1+2x\sqrt{1-x^{2}}}{2}}+2x^{2}=1$

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3log_{2}(x+4y+6)= &2log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$

 

 
Bài 3: Tìm tất cả hàm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa
 $f(x)+x.f(1-x)=x^{2}$
 
Bài 4:
a) Cho $a,b,c >0$ Chứng minh:
 $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$
b) Giải pt nghiệm nguyên:
$x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=8(x^{2}+xy+y^{2}+1)$
 
Bài 5: Cho dãy $(a_{n})$ biết: $a_{0}=2,a_{1}=2013, a_{n}=2013a_{n-1}-a_{n-2}$
Chứng minh với mọi n luôn tồn tại số tự nhiên m sao cho: $a_{n}.a_{n-2}+4=2013^{2}+m^{2}$
 
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn. Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp $(ABC)$ tại N. Gọi K, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của L lên các cạnh AB, AC. Chứng minh $S_{AKNM}=S_{ABC}$
---Hết---

 

cách khác cho bài bđt

để chứng minh $\frac{a^{2}}{2a^{2}+bc}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ca}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+ab}\leq 1$ thì ta có bđt tương đương

$\frac{bc}{2a^{2}+bc}+\frac{ca}{2b^{2}+ca}+\frac{ab}{c^{2}+ab}\geq 1\Leftrightarrow \frac{(bc+ca+ab)^{2}}{2abc(a+b+c)+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}}\geq 1$

Mà$(ba+ca+ab)^{2}=2abc(a+b+c)+(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$$\Rightarrow dpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuvipntp: 01-10-2013 - 18:35


#11 phung0907

phung0907

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 13-10-2013 - 18:07

b) Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}e^{4y^{2}-x^{2}}= \frac{x^{2}+1}{4y^{2}+1}& \\ 3\log_{2}(x+4y+6)= &2\log_{2}(x+2y+2)+1  \end{matrix}\right.$
 
 
$(1)\Leftrightarrow \frac{e^{4y^2+1}}{e^{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{4y^2+1}$  $(*)$
 

Xét hàm số: $f(t)=t.e^t, t>0$  có $f'(t)=e^t>0,\forall t>0$

 

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$

 

Do vậy $(*)\Leftrightarrow x=y$

 

Thay vào pt thứ 2 của hệ ta được : $3\log_2(5x+6)-2\log_2(3x+2)-1=0$

 

Đến đây là đươc rồi

Chỗ này có vấn đề rồi bạn ơi, phải là x=2y hoặc x=-2y chứ!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh