Chủ đề này có 3 trả lời

[Simpson Joe Donald]

Cho x,y,z>0 thoả mãn $x^2+y^2+z^2= 1$
Tìm $\max P = xy + yz + xz +\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2 + y^2(z-x)^2 + z^2(x-y)^2]$

 

[nghiemthanhbach]

Ta có:

$\sum xy\leq \sum x^2=1$

ta có:

$\sum x^2(y-z)^2\leq \sum \frac{(x^2+(y-z)^2)^2}{4}=\sum \frac{(1-2yz)^2}{4}\leq \frac{(\sum x)^2}{4.3}=\frac{1+\sum xy}{12}\leq \frac{1+1}{12}$

vì bất đẳng thức Cauchy ngược và bất đẳng thức $\sum a^2\geq \sum ab$

Vậy max là $\frac{2}{12}=6$

Hình như là vậy, thích thì like ngay nhé bạn

[nghiemthanhbach]

Dễ dàng chứng minh được: $\sum xy\leq \sum x^2=1$

Ta có: 

$\sum x^2(y-z)^2\leq \sum \frac{\sum x^2-2yz}{4}$ (Cauchy ngược dấu) $= \sum \frac{1-2yz}{4}=\frac{3-2(\sum xy)}{4}\leq \frac{3-2\sum x^2}{4}= \frac{3-2}{4}=0.25$

Chủ yếu là sử dụng cauchy

Nhờ like mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 17-09-2013 - 15:07

[KietLW9]

Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$