Chủ đề này có 2 trả lời

[cmath]

Cho a,b,c là các số thực dương.

Tìm max:

               $P=\frac{abc}{\sqrt{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )}}$

[duongtoi]

Cho a,b,c là các số thực dương.

Tìm max:

               $P=\frac{abc}{\sqrt{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )}}$

Ta có $a^3+1=\frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}+1\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^6}{4}}=\frac{3a^2}{\sqrt[3]4}$.

Tương tự $b^3+1\ge \frac{3b^2}{\sqrt[3]4};c^3+1\ge \frac{3c^2}{\sqrt[3]4}$.

Vậy $b^3+1\ge \frac{3b^2}{\sqrt[3]4};c^3+1\ge \frac{3c^2}{\sqrt[3]4} P\le \frac{abc}{\sqrt{\frac{3^3a^2b^2c^2}{4}}}=\frac{2}{3\sqrt3}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt[3]2$

[Lugiahooh]

Cho a,b,c là các số thực dương.

Tìm max:

               $P=\frac{abc}{\sqrt{\left ( a^{3}+1 \right )\left ( b^{3}+1 \right )\left ( c^{3}+1 \right )}}$

$P=\frac{1}{\sqrt{(a+\frac{1}{a^2})(b+\frac{1}{b^2})(c+\frac{1}{c^2})}}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{a^2})(\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{1}{b^2})(\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{1}{c^2})}}\leq \frac{1}{\sqrt{(3\sqrt[3]{\frac{1}{4}})^3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Vậy $max P=\frac{2\sqrt{3}}{9}$